泰勒公式通项公式_泰勒公式项数

泰勒公式是什么？

泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)/1!(x-a)+f''(a)/2!(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!(x-a)^n

泰勒公式通项公式_泰勒公式项数

扩展资料

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏。

泰勒定理开创了有限分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。

参考资料

泰勒公式的常用展开公式有哪些？

常用泰勒展开公式如下：

1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……。

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)(x^k)/k(|x|<1)。

3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k(x^(2k))/(2k)!+……(-∞

5、arcsinx=x+1/2x^3/3+13/(24)x^5/5+……(|x|<1)。

6、arccosx=π-(x+1/2x^3/3+13/(24)x^5/5+……)(|x|<1)。

7、arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)。

8、sinhx=x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞

9、coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k(x^2k)/(2k)!+……(-∞

10、arcsinhx=x-1/2x^3/3+13/(24)x^5/5-……(|x|<1)。

11、arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……(|x|<1)。

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）

8个常用泰勒公式展开是什么？

8个常用泰勒公式，如下图所示：

在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

相关信息：

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

高中数学泰勒公式

泰勒公式（Taylor's formula）

泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!(x-x。)^n+Rn(x)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）

我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；

于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误的多项式：

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

来近似地表示函数f(x)且要写出其误f(x)-P(x)的具体表达式。

设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。

至此，多项的各项系数都已求出，得：

P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.

接下来就要求误的具体表达式了。

设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。

所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；

继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!

这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

泰勒公式有哪些呢？

以下列举一些常用函数的泰勒公式 ：

扩展资料泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

参考资料：

泰勒公式有哪些？

泰勒公式：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!(x-x0)^n

定义：

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数

在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数

在这一点的邻域中的值。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。