非齐次线性方程组的通解(求解非齐次线性方程组的通解)

求非齐次线性方程组的通解,求详细过程 谢谢·？

【重点评注】

非齐次线性方程组的通解(求解非齐次线性方程组的通解)

非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：

1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵；

2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；

3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解（为简捷,可令自由变量全为0）

4、按解的结构 ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系） 写出通解.

注意：当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况,此时的特解往往比较繁.

【分析】

按照非齐次线性方程组的求解方法一步一步来解答

对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形

1 -1 1 -1 1

0 0 -2 2 -1

0 0 0 0 0

r（A）=2,基础解系的解向量有4-2=2个

令x2=1,x4=0,得x1=1,x3=0

令x2=0,x4=1,得x1=0,x3=1

得到基础解系a1=（1,1,0,0）T a2=（0,0,1,1）T

再求方程组的一个特解

令x2=x4=0,得x1=1/2,x3=1/2 ξ=（1/2,0,1/2,0）T

所以通解为 ξ+k1a1+k2a2,k1,k2为任意常数

newmanhero 2015年1月18日11:33:17

希望对你有所帮助,,4,

非齐次线性方程组的通解是什么？

若x1＝c1，x2＝c2，…，xn＝cn。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1，c2，c3，即可写出含n-r个参数的通解。

扩展资料

解的存在性

非齐次线性方程组

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)

解的结构

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的求解方法：

1、对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵；

2、求导出组的一个基础解系；

3、求方程组的一个特解（为简捷，可令自由变量全为0）；

4、按解的结构写出通解。

注意！！！

当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况，此时的特解往往比较繁。

1、题目已经对增广矩阵作初等行变换，化为了阶梯形矩阵。

2、求导出组的一个基础解系；

系数矩阵A的秩r（A）=3，导出组Ax=0的基础解系有4-3=1个解向量。

令x4=1，得x3=-2，x2=0，x1=0

故基础解系是（0，0，-2，1）T

3、α=（2，2，0，-1）T满足方程组Ax=b，是特解。

4、通解是

（2，2，0，-1）+k（0，0，-2，1）T

非齐次线性方程组求通解

非齐次线性方程组怎样求通解？

由线性相关与线性无关的定义可知：向量组a1,a2,...,ar的线性相关性归结为齐次线性方程组Ax=0的解的情形，其中A＝(a1,a2,...,ar)。若方程组只有零解，向量组线性无关；若方程组有非零解，则向量组线性相关。而Ax=0只有零解归结为r(A)=r，Ax=0有非零解归结为r(A)＜r，所以向量组的秩小于向量个数(也就是r(A)＜r)时，向量组线性相关。

对于非齐次线性方程组，r(a)=r(A,b)＜n(n是未知量个数)，则方程组有无穷多解，按说这个在课本上是有介绍的，用高斯消元法。相当于把方程组中的多余方程去掉了，剩下的方程组中方程的个数小于未知量个数，所以未知量不会有唯一解。

微分方程-非齐次线性方程组的通解

本文根据之前的结果进一步给出非齐次线性方程组

的解的结构. 我们假设 是区间 上的 阶连续矩阵函数， 是区间 上的 维连续列向量函数. 当 ，方程组（3.15）变为（3.9）. 我们称方程组（3.9）时方程组（3.15）相应的齐次线性方程组.

容易验证，方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间有如下关系：如果 和 是方程组（3.15）的两个解，则 是相应的齐次线性方程组（3.9）的解；反之，如果 和 分别是方程组（3.15）和方程组（3.9）的解，则 也是当成组（3.15）的一组解. 一般地，非齐次线性方程组的通解结构如下：

若 是方程组（3.15）的某个解，则方程组（3.15）的任一解 都可以表示为

其中 是 维常数列向量， 是相应齐次方程组（3.9）的基解矩阵.

由方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间的关系知， 是齐次方程组（3.9）的解. 由之前的只是，存在一个 维常数列向量 ，使得 ，从而得到（3.16）.

定理 3.4 表明，要找出方程组（3.15）的全部解，只需找出它的一个特解以及它相应的齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵即可. 下面我们运用 常数变易法 来证明：只要找到齐次方程组（3.9）的基解矩阵 ，就能切丁非齐次线性方程组（3.15）的一个特解，从而给出其通解.

这就是下面的定理：

若矩阵函数 是齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵，则非齐次线性方程组（3.15）的通解为

其中 为 维常数列向量. 方程组（3.15）满足初值条件 的解为

其中

由于我们在证明中用到的方法i奥做常数变易法，因此，我们把（3.17）或（3.18）称为 常数变易公式 .

由之前知识，齐次方程组（3.9）的通解为 ，其中 为任意 维常数列向量. 现在我们把常数向量 变易为 的待定列向量函数 ，以期寻找非齐次线性方程组（3.15）的形如

的特解. 把（3.19）带入非齐次线性方程组（3.15），得到

由于 是齐次方程组（3.9）的解矩阵，所有

因此向量函数 满足微分方程组

因为 是方程组（3.9）的基解矩阵，所以它的逆 存在. 从而由（3.20）得

对上式两边积分得到

其中 为常向量. 特别地，取 ，借的到方程组（3.15）得一个特解

再由定理 3.4 即得（3.17）并相应得到（3.18）. 定理得证.

尽管我们拥有了验证齐次线性方程组（3.9）得一个解矩阵是否为基解矩阵的方法，然而，要计算一个齐次线性微分方程组的基解矩阵仍然不是一件容易的事. 对常系数矩阵 的情形，之后会给出方法.