柯西不等式例题及答案(柯西不等式解题)

今天小乐来给大家分享一些关于柯西不等式解题方面的知识吧，希望大家会喜欢哦

1、常规做法是求导找到极值点x=2, 代入即得到5√5. 非要用Cauchy不等式可以如下做(不).先画个图, x是从实轴上选个点, 使它到(1,2)距离的两倍加上它到(8,3)的距离小.从图上很容易看出, 这个x一定在区间(1,8)内.对任意正数a,b, 由Cauchy不等式有[(x-1)^2+4](a^2+b^2)>=[a(x-1)+2b]^2. (1)对任意正数c,d, 由Cauchy不等式有[(x-8)^2+9](c^2+d^2)>=[c(8-x)+3d]^2. (2)联立(1)(2)得到y>=[a(x-1)+2b]/√(a^2+b^2)+[c(8-x)+3d]/√(c^2+d^2). (3)我们希望取abcd使(3)的右边与x无关, (4)并且使存在区间(1,8)内的某x满足(1)(2)的等号. (5)(4)成立当且仅当a/√(a^2+b^2)=c/√(c^2+d^2). (6)(5)要成立的话, 根据Cauchy不等式取等号的条件, 当且仅当(x-1)/a=2/b 且 (8-x)/c=3/d. (7)消去x得到2a/b+3c/d=7. (8)注意到联立(6)(8)是2个方程4个未知数, 所以我们可以对abcd中的任意2个任意取定值.为了计算方便, 我们观察(8)可以取b=2, d=3. 从而(8)变成a+c=7. (9)现在联立(6)(9), 容易看出有一个解(a,c)=(1,6).(如果看不出, 就用消元法得到一个4次方程, 那时再通过观察看出上面这个解.这一步是原问题的本质, 也就是求导算出极值点x=2的本质. 求导同样会遇到4次方程.)由(7)解出x=2, 它恰好在区间(1,8)内. 所以把x=2代入y得到的5√5即为所求. 毕.。

本文到这结束，希望上面文章对大家有所帮助。