全等三角形练习题_三角形全等的判定专题训练题

初中几何问题

在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中

中点四边形

全等三角形练习题_三角形全等的判定专题训练题

全等三角形练习题_三角形全等的判定专题训练题

用中位线证，

定义性质书上肯定都有，

辅助线：做平行线，角平分线，在某线上接长度等于另一条线，分割成三角形证全等，做中垂线等

顺次连接任意（包括平行四边形和梯形）四边形ABCD的各边中点EFGH，一定得到平行四边形.理由是：

连接BD,

∵E,H分别为AB,AD的中点

∴EH是ΔABD的中位线

∴EH平行且等于1／2BD (中位线性质）

∵F,G分别为BC,DC的中点

∴EH是ΔCBD的中位线

∴EH平行且等于1／2BD (中位线性质）

∴EH平行且等于FG

∴四边形EFGH为平行四边形

除此之外，菱形的中点四边形是矩形，矩形的中点四边形是菱形，正方形的还是正方形。

定义和性质内容比较多，也不难，书上都有，就是借本书也能做到。

辅助线，要看具体问题，常用的有平行线，三角形中，见中线延长一倍，构造全等三角形等。

1.任意四边形的中点四边形：(图1)

连接AC，B问题二：初中数学题目，几何题 【题目】D。

∴EF‖AC(三角形中位线定理)

∴GH‖AC(三角形中位线定理)

又∵EF‖AC

∴GH‖EF

同理，EG‖FH

∴四边形EGFH是平行四边形

即任意四边形的中点四边形是平行四边形

2.平行四边形的中点四边形：(图2)

连接AC，BD。

∴EF‖AC(三角形中位线定理)

∴GH‖AC(三角形中位线定理)

又∵EF‖AC

∴GH‖EF

同理，EG‖FH

∴四边形EGFH是平行四边形

即平行四边形的中点四边形是平行四边形

3.矩形的中点四边形：(图3)

连接AC，BD。

∴EF‖AC,EF=1/2AC(三角形中位线定理)

∴GH‖AC,GH=1/2AC(三角形中位线定理)

∴EF=GH=1/2AC

∵EF‖AC，GH‖AC

∴GH‖EF(等量代换)

同理，EG‖FH，EG=FH=1/2BD

∴四边形EGFH是平行四边形

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD

又∵EF=GH=1/2AC，EG=FH=1/2BD

∴EF=GH=EG=FH

又∵四边形EGFH是平行四边形

即矩形的中点四边形是菱形

4.菱形的中点四边形：(图4)

连接AC，BD。

∴EF‖AC(三角形中位线定理)

∴GH‖AC(三角形中位线定理)

∵EF‖AC，GH‖AC

∴GH‖EF(等量代换)

同理，EG‖FH

∴四边形EGFH是平行四边形

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，即∠AOD=90°

又∵EF‖AC，EG‖BD

∴∠FEG=AOD=90°

又∵四边形EGFH是平行四边形

∴四边形EGFH是矩形

即菱形的中点四边形是矩形

连接AC，BD。

∴EF‖AC,EF=1/2AC(三角形中位线定理)

∴GH‖AC,GH=1/2AC(三角形中位线定理)

∴EF=GH=1/2AC

∵EF‖AC，GH‖AC

∴GH‖EF(等量代换)

同理，EG‖FH，EG=FH=1/2BD

∴四边形EGFH是平行四边形

∵四边形ABCD是正方形

∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，AC=BD

∵EF‖AC，EG‖BD

∴∠FEG=AOD=90°

又∵四边形EGFH是平行四边形

∴四边形EGFH是矩形

∵EF=GH=1/2AC，EG=FH=1/2BD，AC=BD

∴EF=GH=EG=FH

又∵四边形EGFH是矩形

∴四边形EGFH是正方形

即正方形的中点四边形是正方形

6.等腰梯形的中点四边形：(图6)

连接AC，BD。

∴EF‖AC,EF=1/2AC(三角形中位线定理)

∴GH‖AC,GH=1/2AC(三角形中位线定理)

∴EF=GH=1/2AC

∵EF‖AC，GH‖AC

∴GH‖EF(等量代换)

同理，EG‖FH，EG=FH=1/2BD

∴四边形EGFH是平行四边形

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD

又∵EF=GH=1/2AC，EG=FH=1/2BD

∴EF=GH=EG=FH

又∵四边形EGFH是平行四边形

即等腰梯形的中点四边形是菱形

其它普通的梯形，直角梯形和普通四边形一样，它们的中点四边形都是平行四边形。

平行四边形

1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2.性质：平行四边形的对边相等

平行四边形的对角相等

平行四边形的对角线互相平分

3.判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

三角形

1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

2.性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2.性质：矩形的四个角都是直角

矩形的对角线相等

3.判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

有三个角是直角的四边形是矩形

菱形

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2.性质：菱形的四条边都相等

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

3.判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

四边相等的四边形是菱形

正方形

1.矩形+菱形=正方形

2.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

对角线互相垂直的矩形是正方形

对角线相等的菱形是正方形

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

梯形

1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形

2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

3.直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形

4.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等

等腰梯形的两条对角线相等

5.等腰梯形的判定定理：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

若图看不见把邮箱发给我。

任意四边形的中点四边形s平行四边形,平行四边形的中点四边形s矩形,矩形de中点四边形s正方形,菱形的中点四边形s矩形,我倒了

初二数学上册全等三角形的判定听不懂咋办？

书的5章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容。其中对于“实践与综合应用”领域的内容，教材在第19章和第20章分别安排了一个课题学习，并在每一章的安排了2～3个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“实践与综合应用”的要求。这5章大体上采用相近内容相对集中的方式安排，前两章基本属于“数与代数”领域，随后的两章基本属于“空间与图形”领域，一章是“统计与概率”领域，这样安排有助于加强知识间的纵向联系。在各章具体内容的编写中，又特别注意加强各领域之间的横向联系。

全等三角形题目难到一定境界大多数人都做不出来……初中范围内大概需要30道不同方法的习题，记住其中的常见模分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之，故用两边之小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，型，然后就没问题啦

这个要练啊，从最基本的一看就知道怎么证的全等三角形练起，再慢慢加难，我的全等刚开始也不好，老师给我们就这样逐步加难才好一点，慢慢的练，几何学起来的确很痛苦，想起前两个月那叫一个煎熬，现在做题就轻松多了，我现在是宁肯做几何也不愿方，纠结。至于怎么证明，凭自己的感觉来，过程要一环扣一会，你觉得那个角证出来与下面解题有关的，你就证出来，一对三角形证不出来不要紧停留在这上面，找找其他能全等的三角形。别人的过程会因他人的习惯多少省略，你问问同学或老师就行了，他们只当你呈迷糊状态，不会说什么的，加油哦^ ^

在图形中确认已知条件的位置可能会更容易些，你可以在相等的边或角上做一些相同的小记号。而且全等三角形的判定方法的简称都按照位置的，像“SAS”，两条边中间夹个角，图形里边或角的位置和字母的位置是一样的

要学会观察图形，根据题中所给的条件，找两个三角形中的对应边或对应角。看符合哪一种判定方法。

主要记住那几个判定方法：SAS.AAS.SSS.ASA以及直角三角形全等的HL

不是听不懂 是没用心听吧 课下好好看课本 多思考 不难的 加油

做证明题要背定义，尤其是黑体字

没有

全等三角形教案内容 教学文本讲解

弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；

1、教学目标：知道什么是全等形，全等三角形以及全等三角形对应的元素；能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练地找出两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；知道全等三角形的性质，并能用其解决简单的问题要求学生会确定全等三角形的对应元素及对全等三角形性质的理解。

∴△AMP≌△ABP

2、通过感受全等三角形的对应美，激发热爱科学勇于探索的精神。通过文字阅读与图形阅读，构建数学知识，体验获取数学知识的过程，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。

2、难点：能用全等三角形的性质解决简单的问题，要求学生会确定全等三角形的对应元素及对全等三角形性质的理解。

3、教学流程安排：利用电脑投影观察图形，探究得出全等图形的概念。观察平移、翻折、旋转的两个图形。全等形的练习。观察两个平移的三角形所做的变化（课件演示）及动手剪两个全等的三角形。探究全等三角形的性质。

4、小结，布置作业：观察、发现生活中图形的形状和大小相同的图形获得全等形的体验。利用两个形状和大小相同的图形通过平移、翻折、旋转的实验，得出全等形的概念。巩固全等性的概念利用两个形状和大小相同的三角形通过平移及自己动手作比较得出全等形三角形的概念。通过图形的变换，形成对应的概念，获得全等形三角形的性质。运用全等三角形性质解决问题回顾反思，进一步理解和掌握全等三角形的概念及全等三角形的性质。

如何判定两个三角形全等

《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册包括5章，约需61课时，供八年级下学期使用。具体内容如下：

在数学界中一直有一个有意思的话题，不断的被讨论，那就是如何判定两个三角形全等，那么如果我们想要判定两个三角形全等，那么首先我们要确定的，那就是三角形的定义，三角形其实就是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，也就是说，三角形是一个封闭图形，并且它有三条边三个内角和三个顶点，符号语言，我们可以用三角行ABC来表示，并且三角形的三个内角和都等于180度，三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之小于第三边，三角形总体可以分为锐角，直角，钝角，三角形，这些其实都是三角形的定义，那么我们该如何去推理证明证明两个三角形是全等的呢？

全等的定义其实就是能够完全重合，所以三角形全等，也就是两个三角形可以完全的重合，那么你想象一下，将两个全等三角形拼到一起，现在组成的还是这个三角形，而这两个三角形的每一组对应边都是相等的，每一组对应角也都是相等的，所以现在我们可以得到一个结论，每组对应边和每组对应角相等的两个三角形全等，中文简称也就是（边边边，角角角），符号语言就是（SSSAAA）。

虽然我们有了这样的一个方法，但是用三条边三个角来判定三角形全等，这似乎太过于复杂了，那么还有没有更加简单的方法呢？可以减少一定的条件去证明两个三角形全等的呢？所以我们想到∵G、H分别是AB、CB的中点了以下这几种方法。

现在满足条件个数有六种，而可能情况也在表格之中，表现出来了，最终在我们去验证这些方法是否可行的时候，我们是从少的条件到多的条件去探索的，经过我们的实际作，发现一个条件和两个条件根本不可能确定两个三角形全等，所以为了节省时间，我们直接来看一下三种条件的吧！

如果是三种条件细分的话，也就是这六种情况，那么我们先来看一下三个角，这个情况。

想要用三个角去证明两个三角形全等如上图，这种方法其实是不可行的，我已经举出来了，一种返利了，其实如果不举返利，大家也应该可以想到，因为如果你想下，如果三个角都确定了，那么每一条边的方向他都已经确定了，并且也组成了这三个点，但是问题就是在于每一条边的长度都没有规定下来，这样子就可能会导致把这个原有的三角形放大，所以这种方法是不可行的，那么我们再来看第二种方法。

这里我们已经做出来了一幅图了，大家来看一下，现在AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，而我刚好发现这两个三角形真的是全等的，难道说这种方法真的可以证明两个三角形是全等的吗？有很多人认为这只不过是一个巧合罢了，所以我们为了证明这是一个普遍规律，于是我们举了三种三角形，也就是分别画两个三边都相等的直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，而最终我们得到的结果是他们都是全等的，而这也就是我们发现的个可以简洁的判定两个三角形全等的方法了，我们可以把它称之为边边边，也就是sss，但是制冷方法我们似乎并不能够用那些严格的推理证明去证明这两个三角形是全等的，所以这个方法其实实质上也就是一个不证自明的公理，他并不是一个定理，因为我们无法基于已有的任何东西去证明它。

通过我们的画图与探索，你就发现这种方法，其实也是可以证出来两个三角形是全等的，而这种方法，我们也是同样无法用严格的逻辑推理去证明它，所以这也就是一个公里。而他也就可以称之为角边角，ASA。

当然，两角一边的方法还有另一种情况，那就是两角和一角的对边，那么这种情况他能否判定两个三角形全等呢？其实也是可以的，最终我们也经过画图和推理证明，也验证了这个方法，而他其实也是一个定理，他的名字也就叫作角角边，AAS。

一角两边也同样可以分为两种可能，那就是两边夹一角，或者两边和一边的对角，我们先来看一下种情况，两边加一角的情况。

这种情况随机画出的两个三角形是全等的，后来我们也分别画出来了，直角三角形钝角三角形锐角三角形，以同样验证了这个方法，这也就是我们第四种快速判断三角形全等的方法，我们可以把它称之为边角边，SAS，这种方法同样也是不能够证明的，所以也就是一个公里。

现在还有一种情况，那就是当两个三角形的两边及一边的对角相等，两个三角形是否全等，这种情况下，我们原本认为是可以证明的，可是后来我们却发现，这种方法并不适用于所有的三角形，只要你没有验证的那一条边，也就是不知道的那一条边小于已知的一条边，这种方法也就可以用，但是如果大于的话，也就会出现两种情况，但是这样这两个三角形也就不是全等的了，所以这个方法也就排除掉了。

所以现在我们一共得到了四种方法，可以判定两个三角形全等也就是边边边，角边角，角角边和边角边，这也就是如何判定三角形全等的方法。

在本章的学习当中，我们当然也会做一些练习，当我在做这些练习的时候，别人可能会非常不想做练习，但是我反而却沉浸在这些题中，这些题都非常有意思，令我最惊喜的那一次就是一道题，他有三道小题，这三道小题其实也意味着三层难度，层非常的简单，第二层稍微困难一些，第三层那更是难上加难，但是当你在正第二层的时候，你却可以运用你层已经证出来的东西，第三层也同样可以使用一二层证出来的，这就非常的有意思，而我也同样认为，那些真正有难度的，并且变幻莫测的题，正是我喜爱的。

初二各种需要做辅助线的数学题，急求……

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，

在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。

分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

证法二：连接AD，并延长线段和及倍分，延长截取证全等；交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。

分析：要证BE＋CF＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，

在△DBE和△DNE中：

∵∴△DBE≌△DNE （SAS）

∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：CF＝NF

∴BE＋CF＞EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

证明：延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。在△BDE和△CDM中，

∵∴△BDE≌△CDM （SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）

∴∠3＋∠2=90°

即：∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF ＝90°

在△EDF和△MDF中

∵∴△EDF≌△MDF （SAS）

∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF

注：上题也可加倍FD，∴四边形EGFH是菱形证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

∵AD为△ABC的中线 （已知）

∴BD＝CD （中线定义）

在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD （SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB＋AC＞2AD。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。

求证：AB－AC＞PB－PC。

即：AB－AC＞PB－PC。

证明：（截长法）

∵∴△APN≌△APC （SAS）

∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之小于第三边）

∴BP－PC＜AB－AC

证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

∵∴△ABP≌△AMP （SAS）

∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之小于第三边)

∴AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：

例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC

分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，

∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）

∴∠CAE＝∠DBE ＝90°（垂直的定义）

在△DBE与△CAE中

∵∴△DBE≌△CAE （AAS）

∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）

∴ED－EA＝EC－EB

即：AD＝BC。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：连接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC （已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）

在△ABC与△CDA中

∵∴△ABC≌△CDA （ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。

证明：分别延长BA，CE交于点F。

∵BE⊥CF （已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

∵∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形对应边相等）

∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：连接BC，在△ABC和△DCB中

∵∴△ABC≌△DCB (SSS)

∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)

十一、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵∴△ABN≌△DCN （SAS）

∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）

在△NBM与△NCM中

∵∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN

即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中线段的比值

例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。

解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC

因为BD：DC＝1：3

所以BD：BC＝1：4

即DG：FC＝1：4，FC＝4DG因为DG：AF＝DE：AE

又因为AE：ED＝2：3

所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD

解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC

因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2

因为CG：DE＝BC：BD

又因为BC＝CD所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝

小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。

解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB

因为BD：DC＝1：3

所以CD：CB＝3：4

即DF：BG＝3：4

因为AF：BG＝AE：EB

又因为AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即

例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。

图4

解：过点D作DG//CE，交AB于点G

所以EF：DG＝AF：AD

因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2

即EF：DG＝1：2

因为DG：CE＝BD：BC

又因为BD：CD＝1：3

所以BD：BC＝1：4

即DG：CE＝1：4

CE＝4DG

因为FC＝CE－EF＝

所以EF：FC＝＝1：7

练习：

1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

：1. 1：10；2. 9：1

关于全等三角形的对应顶点必须一一对应的问题

1、两圆相交连公共弦。

其实在数学中关于全等三角形字母的书写是非常严格的,也就是说对应的1．用计算机画函数图象字母一定要写在对应的位置上.尤其是带有三角形全等符号"≌"的时候,对应的字母如果不写在对应的位置上,是错误的.这与线段的比不一样,线段没有方向性,比如说:若⊿ABC≌⊿DEF,则AB=DE,当然也可以写成AB=ED.

在有些题目中,若没有全等符号则不必这么严格,比如说⊿ABC≌⊿DEF,也可以说成⊿ABC与⊿DEF全等,只有这个时候,可以不强调对应.

除此这外,在表示角的时候也是这样,比如:若⊿ABC≌⊿DEF,则:∠ABC=∠DEF.当然也可以说成是∠ABC=∠FED.(因为角的两边先说哪条都可以)

不过,有经验的老师在平时的教学中是会强调对应的,比如我们刚才在表示边与边相等或是角与角相等时,尽量按照对应的顺序来写, 这么做对学生以后解决复杂图形题目时是有帮助的.

我是个高中学生。我的老师一直要求我们要一一对应 我在网上答题同样遵循这样的原则 作为一个学生我觉得这样的规定对我的答题不会产生困扰。在由全等得出的结论时必须一一对应 但是就像ED 和 DE一样，我们明白这两者是相等的 那么ok没问题 在得出AB=DE后再加一行“所以AB=ED” (有时题目中是不对应的 就用这样的方法处理)

八年级数学轴对称习题

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）

1.下列命题中，真命题的是（ ） A.线段AB和A'B'关于某条直线对称，则AB=A'B' B.如果点A和点A'到直线L的距离相等，那么点A和点A'关于直线L对称 C.如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形在这条直线两旁 D.如果直线L垂直平分AA'，且AB=A'B'，那么线段AB和线段A'B'关于直线L成轴对称 2.李明发现下列图形中，有些将其纵坐标不变，横坐标均乘以-1，其图形不发生改变，你能确定（ ） (1)圆心在原点的圆；(2)两条对角线交点在原点的正方形；(3)与y轴垂直的直线；(4)与x轴垂直的直线 A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(1)(2)(4) 3.三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这点一定是三角形( )的交点 A.三条中线 B.三边中垂线 C.三条高 D.三角平分线 4.线段CD垂直评分线段AB，O是垂足，AB平分角CAD,则下列结论不正确的是( ) A.AD=DB C.AB垂直平分CD D.AB=CD 5.三角形ABC中，AB=AC，角A=40°，点O在三角形内，且角OBA=角OCA，则角BOC=( ) A.110° B.35° C.140° D.55° 6.已知O(0,0),A(3,3),B(8,3),C(8,8),D(3,8),下列说确的是( ) A.四边形ABCD为正方形 B.AC=5根号2 C.0、A、C三点共线 D.四边形ABCD面积为25 7.已知三角形ABC，过点A作直线L，如图。求作：三角形A'B'C'使它与三角形ABC关于L对称(写出做法即可) 图

∵E、F分别是AD、CD的中点

七年级下册数学书 167页练习题

问题七：初中数学几何推理题。（高手来！要详细的解答过程！给分的！） 实际上就是这个题：

△ACE与△ADE全等，理由如下：

∵∠CAB=∠DAB，AC=AD，AE=AE

∴△AC∵∠EB'F=∠B=60°E≌△ADE（SAS）

△ACB与△ADB全等，理由如下：

∵∠CAB=∠DAB

∴AB为∠CAD的平分线

∴∠CBA=∠ABD

∵AB=AB,∠CAB=∠DAB

∴△ACB≌△ADB（ASA）

∵AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已知）AC=AE（已知）

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等

老师说的!正确

△ACE与△ADE全等，理由如下：

∵∠CAB=∠DAB，AC=AD，AE=AE

∴△ACE≌△ADE（SAS）

△ACB与△ADB全等，理由如下：

∵∠CAB=∠DAB

∴AB为∠CAD的平分线

∴∠CBA=∠ABD

∵AB=AB,∠CAB=∠DAB

∴△ACB≌△ADB（ASA）

∵AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已知）AC=AE（已知）

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等

知识技能：

初中数学几何题

《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册包括一次函数，数据的描述，全等三角形，轴对称，整式五章内容，学习内容涉及到了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）的四个领域：“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”。

问题一：初中数学几何题 设∠ABO=X

切点圆心紧相连，切线常把半径添；

∵ABCD

∴∠ABC=∠BCD=40o

∵AB=AO

∴∠O=∠ABO=X

∠CAB=2X

∵CB=AB

∴∠ACB=CAB=2X

∴2X+40+x+x=180

∴x=35o

∴∠COD=35o

已知在△ABC中，∠CAB=2α，且0＜α＜30°，AP平分∠CAB，若∠ABC=60°-α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的代数式表示）。

【解答】

【解法一】

解：

延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM（如图1）

∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α

∴∠1=∠2= α

在△AMP和△ABP中：

∵AM=AB，∠1 =∠2，AP=AP

∴PM=PB，∠3 =∠4

∵∠ABC=60°－α，∠CBP=30°

∴∠4=(60°－α)－30°=30°－α

∴∠3 =∠4 =30°－α

∵△AMB中，AM=AB

∴∠AMB=∠ABM=(180°－∠MAB)÷2 =(180°－2α)÷2 =90°－α

∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°

∴△PMB为等边△

∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°

∴∠6=∠CBP

∴BC平分∠PBM

∴BC垂直平分PM

∴CP=CM

∴∠7 =∠3 = 30°－α

∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α

∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP

=180°－α－(60°－2α)

=120°＋α

【解法二】

解：

在AB上截取AM，使AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN（如图2）

∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α

∴∠1=∠2=α

在△ACN和△AMN中：

∵AC=AM，∠1 =∠2， AN=AN

∴△ACN≌△AMN

∴∠3 =∠4

∵∠ABC=60°－α

∴∠3=∠2＋∠NBA=α＋(60°－α) =60°

∴∠3 =∠4 =60°

∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°

∴∠4 =∠5

∴NM平分∠PNB

∵∠CBP=30°

∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°

∴∠6=∠NBP

∴NP=NB

∴NM垂直平分PB

∴MP=MB

∴∠7 =∠8

∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8

即∠NPM=∠NBM =60°－α

∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α

在△ACP和△AMP中：

∵AC=AM， ∠1 =∠2， AP=AP

∴△ACP≌△AMP

∴∠APC=∠APM

∴∠APC=120°＋α

问题三：初中数学几何证明题 证明：如图，过点C做AD的平行线交BA的延长线于点D

则AD∥CE

∴BA/AE=BD/DC,∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACD

∵AD为∠BAC的角平分线

∴∠BAD=∠CAD

∴∠E=∠ACD

∴AC=AE

∴BA/AC=BD/DC

问题四：初中数学，几何题 100分 感觉题目有问题啊第1道F随便移的话BF在变等式肯定不能成立啊

问题五：初中数学几何题 这题主要是考查反证法，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，等边三角形的性质.

解：

1）∵B'和B关于EF对称

∴B'E=BE

∴c=OB'+B'E+OE

=OB'+BE+OE

=x+OB=x+2+√3.

2）当B'E∥y轴时，∠EB'O=90°.

∵ΔOAB为等边三角形

∴∠EOB'=60°

∴OB'=1/2EO.

设OB'=a'，则OE=2a.

在Rt△OEB'中，tan∠EOB'=B'E/B'O

∴B'E=B'Otan∠EOB'=√3a

∵B'E+OE=BE+OE=2+√3

∴a=1

∴B'（1,0）,E（1,√3）

3）答：不能.

理由如下：

∴要使ΔEB'F成为直角三角形，则90°角只能是∠B'EF或∠B'FE.

设∠B'EF=90°

∵ΔFB'E与ΔFBE关于FE对称

∴∠BEF=∠B'EF=90°

∴∠BEB'=180°

则B'、E、B三点在同一直线上，B'与O重合.这与题设矛盾。

∴∠B'EF≠90°.

即ΔEB'F不能为直角三角形.同理，∠B'FE=90°也不成立.

∴ΔEB'F不能成为直角三角形.

问题六：初中数学几何题总感觉没有思路，怎么办？ 是要多做题多练习。给你发个做辅助线的口诀希望对你有帮助。不会时我可以帮助你。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径 端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

几何证题难不难，关键常在辅助线；

知中点、作中线，中线处长加倍看；

底角倍半角分线，有时也作处长线；

公共角、公共边，隐含条件须挖掘；

全等图形多变换，旋转平移加折叠；

中位线、常相连，出现平行就好办；

四边形、对角线，比例相似平行线；

梯形问题好解决，平移腰、作高线；

两腰处长义一点，亦可平移对角线；

正余弦、正余切，有了直角就方便；

特殊角、特殊边，作出垂线就解决；

实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；

圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；

两圆相切公共线，两圆相交公共弦；

切割线，连结弦，两圆三圆连心线；

基本图形要熟练，复杂图形多分解；

以上规律属一般，灵活应用才方便。

一、见中点引中位线，见中线延长一倍

在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

二、 在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有：

1、过上底的两端点向下底作垂线。

2、过上底的一个端点作一腰的平行线。

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线。

4、过一腰的中点作另一腰的平行线。

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交。

6、作梯形的中位线。

7、延长两腰使之相交。

四、在解决圆的问题中

2、两圆相切，过切点引公切线。

3、见直径想直角。

4、遇切线问题，连结过切点的半径是常用辅助线。

5、解决有关弦的问题时，常常作弦心距。...>>

给初二的孩子讲全等三角形 怎么讲好呢

第18章 勾股定理

一点建议:

如果学生学习过了尺规作图,可以和学生一道利用尺规方法学习全等三角形内容中的(SAS,ASA,SSS,Ⅱ. 八年级下册HL)公理

如:学习(SAS公理)

先复习一下尺规作图的知识,接着给出条件,两边夹角(可用具体的值),要求每个学生用尺规作图的方法在纸上作出两个或三个三角形(同一条件下),然后要求学生把这两(三)个三角形裁下,让学生试着把这两(三)个三角形拼到能否重合为止(如果是你给出具体的值,可要求全班学生交换着裁下的三角形进行拼到重合),再让学生发现(SAS公理)

余下的三个公理仍可用同样的方法.

我是一名七年级学生，请大家帮我准备一些适合我做的数学难题，谢谢！

5.正方形的中点四边形：(图5)

商场为皮鞋厂代销240双皮鞋，代销费为销售额的15%，全部售完后向鞋厂交付了32640元，每双皮鞋售价多少元？ （等你作完后追问我时告诉你）望采纳

（因时间关系，所以提前揭晓，请谅解）

设每双皮鞋x元，240乘以x乘以（1-15%）等于32640

解方程即可

x=160

用算术是32640除以（1-15%）除以240即可

。O(∩_∩)O你对了吗，请采纳。。。。。。

我也是七年级的哦！ （2＋1）（2的2次方＋1）（2的4次方＋1）…（2的16次方＋1）＝？：首先观察特点，如果在前面乘以（2－1），就可以多次运用公式（a＋b）（a－b）＝a的平方－b的平方，得到是2的32次方－1

商场为皮鞋厂代销240双皮鞋，代销费为销售额的15%，全部售完后向鞋厂交付了32640元，每双皮鞋售价多少元？（ 等你作完后追问Pengp3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。ei9时Pengpei9告诉你）望采纳