重心三分之二定理证明 重心是三等分点吗

怎么证明重心把三角形面积三等分

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心 AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，

A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah

则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；

同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

G是重心，为什么AG等于三分之二AD

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

可参照此题解答

三角形的重心要怎么证明?

1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.

2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明: 用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]

2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.

三角形的五心

一 定理

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的

离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.

垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

重心三分之二定理证明 重心是三等分点吗

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里,但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明,遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽.这些性质都是可以直接用的啊

三角形重心定理如何证明

证明：

在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF

根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,

重心三分之二定理证明 重心是三等分点吗

根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b

则1-x= y/2， x/2=1-y，

解得x=2/3,y=2/3.

向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD

即BO：OF=CO：OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b

又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)

= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b

从而向量AO=2/3向量AE

即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线

且有AO：OE=2。

因此，三角形ABC的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

扩展资料：

三角形重心定理的性质：

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5，三角形重心是三角形三条中线的交点,当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

参考资料来源：百度百科-三角形重心定理

参考资料来源：百度百科-三角形重心

重心定理怎么证明

利用三角形的相似性可以很快得到证明。

△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。

∵AD=AB/2，AF=AC/2。

∴DF//BC，DF=BC/2。

∴HF//BE。

又∵∠BGE=∠FGH。

∴△BGE∽△FGH

∴BG/GF=BE/FH。

重心三分之二定理证明 重心是三等分点吗

又∵FH=DH

∴BG/GF=BE/FH=BE/DH=2。

∴BG=（2/3）BF

【数学】重心定理用向量证明证明

只需证明三角形abc的中线ad的2/3分点g(ag:gd=2:1)也是中线be(及cf）的2/3分点，

由ag:gd=2:1,即向量ag=2gd,向量(bg-ba)=2(bd-bg),3bg=2bd+ba=bc+ba=2be,bg=2/3*be,故b,g,e三点共线且bg:ge=2:1

同理可证，c,g,f三点共线且cg:gf=2:1

故命题得证

正三角形的中心3分之2是什么？

等边三角形的中心即为三角形的重心，连接重心与顶点到对边的线段被重心分成2:1的比例，而这条边恰好就是等边三角形的高，于是中心到顶点距离为高×三分之二。而高=边长×√3/2，于是中心到顶点距离为边长×√3/3。

求证：OC=2OD

证明：

连结AO并延长，交BC于E，连结DE

因为CD是AB边上的中线,点O是三角形ABC的重心

所以AE是BC边上的中线

所以AD=DB，CE=EB

所以DE是三角形ABC的中位线

所以ED‖AC，ED=1/2AC，即ED/AC=1/2

所以△OED∽△OAC

所以OD/OC=ED/AC=1/2

即OC=2OD

正三角形的中心是重心、垂心、内心、外心，“四心合一心”。

（1）重心：三条中线的交点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2；

（2）垂心：三角形三条高的交点；

（3）内心：三条角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称；到三边距离相等；

（4）外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；到三顶点距离相等。