他对数学的主要贡献是有两个比理论和穷竭法。
黄金分割点比例公式 黄
他发现了比例理论,部分解决了毕达哥拉斯派面临的第一次数学危机(无理数危机),后来《几何原本》就收录了这个解释。同时他是穷竭法的发现者,被特别注重知识产权的阿基米德记录在他的书里,虽然世上公认阿基米德是穷竭法的发现者。
先说第一个比例理论。毕达哥拉斯学院派认为万物皆有数,意思就是所有的数都可以用整数或者整数的比(分数)表示出来。某一天毕达哥拉斯的徒弟遇到一个问题,边长为1的等腰直角三角形的斜边没办法用分数表达出来,为此发现这个问题的人被毕达哥拉斯信徒扔到了地中海。但是问题就在那里。不可能人死了问题就消失了,这不是掩耳盗铃吗?而且当时的数学几乎都建立在毕达哥拉斯的理论基础上,突然发现一个不可思议的数,这就是相当于数学的根基崩溃。这个问题必须解决,这是数学家的共识。而且其后数学家一直不断地发现更多的无理数,无理数的问题解决迫在眉睫。
过了一百多年,欧多克斯并没有直接去解决这个问题,因为无理数确实没有办法表达成分数的形式,这是无理数固有属性,天生的。
欧多克斯想了一个办法绕过这个问题,用比例表达无理数,巧妙地解决了毕达哥拉斯学派的不可公度的问题。
为了通俗易懂,我就拿黄金分割来举例。大家都记得是0.618,但是他只是约等于0.618,真正的数值是2分之根号5减1,大家说这是不是个无理数?对于黄金比例,欧多克斯这么表达:长度为c的线段,被分为长一点的b和短一点的a两段,如果b与c的比例等于a与b的比例,那么b/c的比值就是黄金分割比,也称为中末比。
如果c=1,那么b可以这么表示:1/b=b/(1-b)
这样无理数就可以通过一个比例等式来表达,暂时性地解决了无理数的问题,直到两千多年后才被彻底解决。
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欧多克斯第二个贡献是严谨的穷竭法。
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我想很多人对穷解法有点好奇,但是如果用数学理论来讲解,大家基本直接拉过去了,我就通俗一点讲,古代不知道圆周率求圆的面积怎么求呢,就是圆内接正多边形,边数越来越多,无限接近于圆,大家有点理解穷竭的意思了吧?但是穷竭法先定义一个穷竭的逼近过程,然后再用“双重归谬法“证明,实在是繁琐,主要原因是用几何的方法,而不是代数的方法去证明。
穷竭法含有原始的积分思想。穷竭法被记录在阿基米德的书上,大家都知道的,阿基米德是最早具有版权意识的古代人。
从某种意义上,阿波罗尼奥,欧几米德,阿基米德都是站在巨人肩膀上的人。当然欧多克斯亦然如此。
数学就是这样一代代伟大的天才数学家们,不停地研究发现,甚至有的人付出了生命的代价,才发展到现今这个迷人的数学世界,值得记住这些伟大的人。
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