对数运算性质的八个推导公式。并要有推导过程。
loga(mn)=logam+logan
对数运算公式的推导 对数运算公式的推导方法
证明:
设logam=p,logan=q,由对数的定义可以写成m=ap,n=aq.所以
m·n=ap·aq=ap+q,
所以
loga(m·n)=p+q=logam+logan.
即loga(mn)=logam+logan.
每个对数都有意义,即m>0,n>0;a>0且a≠1.
除法一样证,谢谢
附证明logam
n(指数)=nlogam
logam=x,logan=y
得a^x=m,a^y=n
∴mn=a^xa^y=a^(x+y)
得x+y=loga(mn),即logam+logan=logamn
设logam=x,即a^x=m,得(a^x)n=m^n,即a^(nx)=m^n
∴loga^m(^n)=nx=nlogam
得证
对数运算性质的推导过程是什么?
对数运算性质的推导过程基于指数运算和对数的定义与性质。下面是对数运算性质的推导过程:
1. 对数的定义:
对于正实数a、b和正整数n,如果a^n = b,那么n就是以a为底b的对数,记作n = log_a(b)。
根据对数的定义,有a^log_a(b) = b。
2. 指数运算的性质:
a^m a^n = a^(m+n) -- (1) 加法法则
a^m / a^n = a^(m-n) -- (2) 减法法则
(a^m)^n = a^(mn) -- (3) 乘法法则
3. 对数运算的性质:
log_a(b c) = log_a(b) + log_a(c) -- (4) 乘法法则
log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c) -- (5) 除法法则
log_a(b^n) = n log_a(b) -- (6) 幂法法则
根据上述性质,可以推导出对数运算的其他性质:
- 对数的基变换:log_a(b) = log_c(b) / log_c(a),其中c为正实数,且c ≠ 1。
- 对数的指数转换:log_a(b^m) = m log_a(b)。
这些推导过程基于数学的基本定义和性质,并且可以推广到所有实数。通过应用这些性质,可以简化和操作各种对数运算。
对数的计算和公式
对数的计算和公式, 对数的计算公式和计算方法[有例题及计算步骤]. 定义:
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质:
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3、与(2)类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4、与(2)类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x)e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)÷ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [n×ln(a)]÷[m×ln(b)] = (m÷n)×{[ln(a)]÷[ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导 完)
函数图象
[编辑本段]
1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0 ②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1. 3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称. 性质一:换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a) 推导如下: N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)][log(b)(a)]} 又因为N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)][log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)][log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 公式二:log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下: 由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数 log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1 利用对数的换底公式,计算。 log2 5 ×log 5 4 =(lg5/lg2) (2lg2/lg5)=2 log2 3×log3 4×log4 5×log5 6×log6 7×log7 8 =(lg3/lg2) (2lg2/lg3)(lg5/2lg2) (lg6/lg5)(lg7/lg6) (3lg2/lg7) =2(3/2) =3 自然对数的运算法则? 和公式? ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga(M/N)=logaM-logaN; ③对logaM中M的n次方有=nlogaM; 如果a=e^m,则m为数a的自然对数,即lna=m,e=2.718281828…为自然对数 的底。定义: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导: 1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与(2)类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4、与(2)类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)] 推导如下: 由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导: 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 对数的运算公式~~~? 错了。。。 log(MN)=log(M)+log(N) 你那个公式应该是没有的。。。 1对数的概念 如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 由定义知: ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问:①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算性 质am·an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中,为什么要规定a>0,,且a≠1? 理由如下: ①若a<0,则N的某些值不存在,例如log-28? ②若a=0,则N≠0时b不存在;N=0时b不惟一,可以为任何正数? ③若a=1时,则N≠1时b不存在;N=1时b也不惟一,可以为任何正数? 为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数? 对数的计算 原式=3^log3^2(底数)^6^2=3^21/2log^3(底数)^6=6 原式=log2的平方(底数)^2的三次方-log3的-2次方(底数)^3 =3/2log2(底数)^2-(-1/2)log3(底数)^3 =3/2+1/2 =2 原式= - 5lg4/lg9+lg(32/9)/lg3-5log5(3)-[(1/4)^3]^(2/3) = - 5lg2/lg3+[lg(1/9)+lg32]/lg3-5log5(3)-1/16 = - lg32/lg3+lg32/lg3-[lg3^(-2)]/lg3-5log5(3)-1/16 = -2-1/16--5log5(3) =- 33/16--5log5(3) 计算机上的log都是默认以10为底的对数,因此log100 = 2,log1000 = 3。如果需要计算以非10为底的对数,要使用换底公式,比如想计算以7为底12的对数,在计算器上的操作应该是 (log12) / (log7) 求对数的公式 定义式: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性质: 性质一:换底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 性质二 log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)] 对数的计算公式和概念如下: 1.对数的概念:如果 ax=N (a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作 x=logaN 。其中,a叫做对数的底数(base),N叫做真数。 2.特殊对数 常用对数:以10为底的对数,即 log10=lgN 自然对数:以无理数e=271828……为底的对数,即 logeN=lnN 3.特殊对数值: loga1=0 logaa=1 4.对数运算公式 推导方法 对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底,N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数称为自然对数。 对数的运算法则及公式推导: 由指数和对数的互相转化关系可得出: 1、两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和,即 2、两个正数商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的,即 3、一个正数幂的对数,等于幂的底数的对数乘以幂的指数,即 4、若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数,等于被开方数的对数除以根指数,即 对数函数性质如下: 1、值域:实数集R,显然对数函数。 2、定点:函数图像恒过定点(1,0)。 3、单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数。 4、奇偶性:非奇非偶函数。 5、周期性:不是周期函数。 6、零点:x=1。 7、底数则要>0且≠1 真数>0,并且在比较两个函数值时:如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时);如果底数一样,真数越小,函数值越大(0
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对数的运算法则及公式推导是什么?