用数量积证明正弦定理 怎么用数量积证明正弦定理

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用数量积证明正弦定理 怎么用数量积证明正弦定理

1、正弦定理证明方法方法1 用三角形外接圆证明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。

2、∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R正弦定理证明方法方法2用直角三角形证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

3、作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。

4、正弦定理证明方法方法3用三角形面积公式证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

5、作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2c^2=[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2b^2c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了。

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