锐角三角函数知识梳理 锐角三角函数知识点讲解

锐角三角函数知识点

锐角三角函数的定义

锐角三角函数知识梳理 锐角三角函数知识点讲解

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

余割等于斜边比对边

正切与余切互为倒数

它的本质是任意角的与一个比值的的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

(斜边为r，对边为y，邻边为x。)

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 coversθ =1-sinθ

锐角三角函数的性质

1、锐角三角函数定义

锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数

2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

3、同角三角函数间的关系

平方关系：sin2α+cos2α=1

倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)

商的关系：tanα= , cotα=.

(这三个关系的证明均可由定义得出)

4、三角函数值

(1)特殊角三角函数值

(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

(3)锐角三角函数值的变化情况

(i)锐角三角函数值都是正值

(ii)当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时，

tanα>0, cotα>0.

锐角三角函数单元试测试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的高度是

( D )

A.30米 B.10米 C. 米 D. 米

2.如图，坡角为 的斜坡上两树间的水平距离AC为 ，则两树间的坡面距离AB为

( C )

A. B. C. D.

3.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)

在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )

A.250m B. m C. m D. m

4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( C )

A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3

( 第2题 ) ( 第3题) ( 第4题)

5.如果∠A是锐角，且 ，那么∠A=( B )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 等腰三角形的一腰长为 ，底边长为 ，则其底角为( A )

A. B. C. D.

7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积

是( B )

A.150 B. C. 9 D. 7

8.在△ABC中，∠C=90°，BC=2， ，则边AC的长是( A )

A. B.3 C. D.

9.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图

中阴影部分)的路面面积是( A )

A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)

10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连结CD，若 tan∠BCD= ，则tanA=( C )

A.1 B. C. D.

( 第9题 ) ( 第10题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

11.已知 为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。

12.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。

13.一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，

∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米

(答案可保留根号)。

14.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为 ，旗杆底部

点的俯角为 .若旗杆底部 点到建筑物的'水平距离BE=9 米，旗杆台阶高1米，

则旗杆顶点 离地面的高度为 米(结果保留根号)。

(第12题) (第13题) (第14题)

三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数

据计算回答:小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗?

(可能用到的参考数值:sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51)

15.作CD⊥AC交AB于D，则∠CAB=27°,在Rt ACD中，

CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)

所以小敏不会有碰头危险。

16.已知:如图，在 ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。求BC的长(结果保留根号)。

16.解:过点A作AD⊥BC于点D。

在Rt△ABD中，∠B =45°，

∴AD = BD=AB sinB= 。

在Rt ACD中，∠ACD = 60°，

∴tan60°= ，即 ，解得CD = 。

∴BC = BD + DC = + 。

四、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

17.如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅

顶端B，测的仰角为 ，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的

仰角为 ，求宣传条幅BC的长，(小明的身高不计，结果精确到0.1米)

17.解: ∵∠BFC = ，∠BEC = ，∠BCF =

∴∠EBF =∠EBC = ， ∴BE = EF = 20

在Rt⊿BCE中，

答:宣传条幅BC的长是17.3米。

18.如图，甲船在港口 的北偏西 方向，距港口 海里的 处，沿AP方向以12

海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，

现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向。求乙船的航行速度。(精确到0.1

海里/时，参考数据 ， )

18.依题意，设乙船速度为 海里/时，2小时后甲船在点B处，乙船在点C

处，作 于 ，则 海里， 海里。

在 中， ，

。在 中， ，∴ ，

∴ ，∴ 。

答:乙船的航行速度约为19.7海里/时。

五、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)

19.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，

顶部不易到达)，他们带了以下测量工具:皮尺、、一副三角尺、小平面镜。请你

在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。

(1)所需的测量工具是: ;

(2)请在下图中画出测量示意图;

(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x。

19.解:(1)皮尺、。

(2)测量示意图如图所示。

(3)如图，测得DE=a，树和的影长分别为AC=b，EF=c

∵△DEF∽△BAC，∴ ，

∴ ，∴ 。

20.梯形ABCD是拦水坝的横断面图，(图中 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE

的比)，∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积。(结果保留三位有效

数字，参考数据: ， )

20.52.0

六、(本大题满分8分)

21.某救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探

测点A、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°(如图)，试确定生命

所在点 C 的深度.(结果精确到0.1米，参考数据: )

21.

七、(本大题满分8分)

22.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交

叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东

30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°。

(1)求B、D之间的距离;

(2)求C、D之间的距离。

22.解:(1)如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°。

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。

∵ AE∥BF∥CD，

∴ ∠FBC=∠EAC=60°.

∴ ∠DBC=30°。

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，

∴ ∠ADB=15°。

∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。

即B，D之间的距离为2km。

(2)过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，

在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°。

∴ DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1。

在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，

∴ CD=DO-CO= (km)。

即C，D之间的距离为 km。

八、(本大题满分10分)

23.如图，某巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派

三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是

直线)向前跑到C点，再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点近的D

点，再跳入海中。救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。

若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B。

(参考数据 ， )

23.解:在 中， 。

。 。

在 中， ，

。 。

1号救生员到达B点所用的时间为: (秒)，

2号救生员到达B点所用的时间为: (秒)，

3号救生员到达B点所用的时间为 (秒)，

， 号救生员先到达营救地点B。

锐角三角函数有哪些？

常见的锐角三角函数值如下：

1、sin 30°= 1/2，cos30°=√3/2，an30°=√3/3

2、sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1

3、sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3

常见的锐角三角函数值的推断方法：sin（－α）=－sinα，cos（－α）=cosα，tan（－α）=－tanα，cot（－α）=－cotα，sin（π/2－α）=cosα，cos（π/2－α）=sinα，tan（π/2－α）=cotα。

扩展资料锐角三角函数值，当角度在0°～90°间变化时，三角函数值变化情况：

1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；

2、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

3、正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

参考资料：

高中数学三角函数知识点总结

在高中数学中三角函数一直是非常难的课程，它有哪些知识点呢。以下是由我为大家整理的“高中数学三角函数知识点总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高中数学三角函数知识点总结

一、锐角三角函数公式

sin=的对边/斜边

cos=的邻边/斜边

tan=的对边/的邻边

cot=的邻边/的对边

二、倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))

三、三倍角公式

sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中

sint=B/(A2+B2)(1/2)

cost=A/(A2+B2)(1/2)

tant=B/A

Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B

四、降幂公式

sin2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

cos2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

tan2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

推导公式

tan+cot=2/sin2

tan-cot=-2cot2

1+cos2=2cos2

1-cos2=2sin2

1+sin=(sin/2+cos/2)2

=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina

=3sina-4sina

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa

=4cosa-3cosa

sin3a=3sina-4sina

=4sina(3/4-sina)

=4sina[(3/2)-sina]

=4sina(sin60-sina)

=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)

=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]

=4sinasin(60+a)sin(60-a)

cos3a=4cosa-3cosa

=4cosa(cosa-3/4)

=4cosa[cosa-(3/2)]

=4cosa(cosa-cos30)

=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)

=4cosa2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-

30)/2]}

=-4cosasin(a+30)sin(a-30)

=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]

=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]

=4cosacos(60-a)cos(60+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)

五、半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

六、三角和

sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin

-sinsinsin

cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)

七、两角和

cos(+)=coscos-sinsin

cos(-)=coscos+sinsin

sin()=sincoscossin

tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

八、和化积

sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]

sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]

cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]

cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

九、积化和

sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2

coscos=[cos(+)+cos(-)]/2

sincos=[sin(+)+sin(-)]/2

cossin=[sin(+)-sin(-)]/2

十、诱导公式

sin(-)=-sin

cos(-)=cos

tan(—a)=-tan

sin(/2-)=cos

cos(/2-)=sin

sin(/2+)=cos

cos(/2+)=-sin

sin(-)=sin

cos(-)=-cos

sin(+)=-sin

cos(+)=-cos

tanA=sinA/cosA

tan(/2+)=-cot

tan(/2-)=cot

tan(-)=-tan

tan(+)=tan

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

十一、公式

sin=2tan(/2)/[1+tan(/2)]

cos=[1-tan(/2)]/1+tan(/2)]

tan=2tan(/2)/[1-tan(/2)]

十二、其它公式

(1)(sin)2+(cos)2=1

(2)1+(tan)2=(sec)2

(3)1+(cot)^2=(csc)^2

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=-C

tan(A+B)=tan(-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC

(9)sin+sin(+2/n)+sin(+22/n)+sin(+23/n)++sin[+2(n-1)/n]=0

cos+cos(+2/n)+cos(+22/n)+cos(+23/n)++cos[+2(n-1)/n]=0以及

sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

拓展阅读：学好函数的方法

一、学数学就像玩游戏，想玩好游戏，当然先要熟悉游戏规则

而在数学当中，游戏规则就是所谓的基本定义。想学好函数，第一要牢固掌握基本定义及对应的图像特征，如定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称轴等。

很多同学都进入一个学习函数的误区，认为只要掌握好的做题方法就能学好数学，其实应该首先应当掌握基本的定义，在此基础上才能学好做题的方法，所有的做题方法要成立归根结底都必须从基本定义出发，掌握这些定义和性质的代数表达以及图像特征。

二、牢记几种基本初等函数及其相关性质、图象、变换

中学就那么几种基本初等函数：一次函数(直线方程)、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正弦余弦函数、正切余切函数，所有的函数题都是围绕这些函数来出的，只是形式不同而已，终都能靠基本知识解决。

还有三种函数，尽管课本上没有，但是在高考以及自主招生考试中都经常出现的对勾函数：y=ax+b/x，含有的函数，三次函数。这些函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质和图像等各方面的特征都要好好研究。

三、图像是函数之魂!要想学好做好函数题，必须充分关注函数图象问题

翻阅历年高考函数题，有一个算一个，几乎百分之八十的函数问题都与图像有关。这就要求同学们在学习函数时多多关注函数的图像，要会作图、会看图、会用图!多多关注函数图象的平移、放缩、翻转、旋转、复合与叠加等问题。

三角函数的概念知识点

三角函数知识点如下：

锐角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c。

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c。

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b。

余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a。

正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b。

余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a。

三角函数起源

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成文时被误解为”弯曲”、”凹处”，语是 ”dschaib”。十二世纪，文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

初三奥数锐角三角形知识总结

性质：

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b

余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a

正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b

余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a

初中研究的锐角 的 三角函数为：正弦(sin)，余弦(cos)，正切(tan)。

取值范围：

θ是锐角：

tanθ>0

cotθ>0

变化情况：

1.锐角三角函数值都是正值

2.当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ，余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ，余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);

正割值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，余割值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0;当角度在0°0。

关系式：

1)同角三角函数基本关系式

tanα·cotα=1

sin^2α+cos^2α=1

cos^2α+sin^2α=1

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

(sinα)^2+(cosα)^2=1

1+tanα=secα

1+cotα=cscα

2)诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

锐角三角函数知识点归纳总结有哪些？

锐角三角函数知识点如下：

1、正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)。

2、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)。

3、sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα。

4、tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα。

5、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和。