高中数学反比例函数的解题格式及4道例题

反比例函数的解题格式

已知三角形的面积为定值，当底边长为a=8cm时，底边上的高线长h=5cm.

高中数学反比例函数的解题格式及4道例题

⑴求h关于a的函数解析式和自变量a的取值范围。(答案h=40/a a>0)

⑵求当三角形底边长为12.5cm时，这条边上的高(答案h=3.2cm)

解：下面解题过程没带单位，你自己解的时候带上。

因为a=8cm时，高线长h=5cm

所以三角形的面积为定值=1/2 8 5 =20

所以面积和a，h关系就是： 20=1/2 ah

那么就是：h=40/a

很显然高为正数，所以a>0

（2）因为 h=40/a

当三角形底边长a为12.5cm时

则h=40/12.5=3.2

已知一次函数y=2x-3的图象与反比例函数y=(k+2)/x的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为3，求k的值和反比例函数的解析式

解：因为其中有一个交点的纵坐标为3，所以设这个交点为（a，3）

代入俩个函数那么就可以得到： 3=2a-3

3=(k+2)/a

解得 a=3

k=7

那么反比例函数的解析式：y=9/x

y＝k／x

不会

反比例函数的4个性质和4道例题

反比例函数y＝

有下列性质：

1、当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

2、当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。

另外应该注意：

1、双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2、双曲线的两个分支关于原点成中心对称。

2－m2＝－1，又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可得

，解得m＝－

1。

已知y是x的一次函数，当x=-3时，y=-6;当x=3时，y=-2求这个函数的解析试.答案

Y=K/X

当K小于0时，X越大，Y越大，当K大于0时，X越小，Y越大

反比例函数是相对于正比例函数来说的,正比例函数y=kx,反比例函数y=k/x

在复习“第11章 一次函数”内容的基础上，引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数y=k/x （k为常数，）与正比例函数y=kx（k为常数，）之间的对比，对比可以从如下几方面进行：

1．两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？

2．在常数 相同的情况下，当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别？

3．两种函数中 的取值范围有何不同？常数 的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？

回答是这样的：

1．两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且；不同点是自变量 在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式 的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。

两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。

2．在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的 t值增大（减小）。

3．当常数 的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当时，两类函数的图象都分布在二、四象限。

例题1:一直反比例函数y=k/x的图像与一次函数y=kx+b的图像相交于一点

（2，1），求反比例函数与一次函数的关系式。

将（2，1）代入y=k/x中，得k=2。

再将（2，1）及k=2代入y=kx+b中，求得b=-3。

所以反比例函数的关系式为y=2/x

一次函数的关系式为y=2x-3

例题2:已知点P(1,a)在反比例函数y=k/x(k不等于0)的图像上，其中a=m^2+2m+3(m为实数），则这个函数的图像在第______象限。

a=m^2+2m+3

=(m+1)^2+2 , 所以，a是恒大于等于2 ；

因为y=k/x,所以，k=xy,所以，k大于等于12 （即2）。

所以图像在第一象限

例题3:在反比例函数y=k/x的图象上有一点P[a,b],且a,b分别是t^2-5t-6=0的两个根，求K的值和点P到原点的距离。

解方程：t^2-5t-6=0

(t-6)(t+1)=0 得t1=6，t2=-1

所以:a=6,b=-1 或a=-1,b=6

代入y=k/x，得k＝－6

PO(O为原点）^2＝6^2+(-1)^2=37,PO=根号37

例题4:

设一次函数y=ax+1的图象和反比例函数y=k/x的图象交于点M[2，3]。求：[1]这两个函数的解析式；[2]若两函数图象的另一交点为N，试求三角形OMN的面积。

将M分别代入两个方程，求得a=1,k=6

两个方程为：y=x+1,y=6/x

解两个方程得方程组，即x+1＝6/x，得x1=2,x2=-3,所以N(-3,2)

可以自己画图，由图得面积为55/2-22-23/22=2.5

例题5

已知：关于x的方程x^2-3x+2k-1=0的两实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=1+2K/x的图象的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，求满足上述条件的k的整数值。

存在两个实根，所以（－3）^2-41(2k-1)>0 k<13/8

由条件两实数根的平方和不小于这两个根的积，所以

(x1+x2)^2>=x1x2

3^2>=2k-1, k<=5

所以k<13/8

又反比例函数y=1+2K/x的图象的两个分支在各自的象限内， y 随x的增大而减小，所以k>0

所以0

希望可以帮到你 分给我吧

八年级反比例函数的图象与性质教案

教学目标

使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解.

教学重难点

重点：反比例函数的图象.

难点：利用反比例函数的图象解题.

教学过程

一、情境创设

反比例函数

解析式y=kx(k为常数，k≠0)

图象形状双曲线(以原点为对称中心)

k>0位置一、三象限

增减性每一象限内，y随x的增大而减小

k<0位置二、四象限

增减性每一象限内，y随x的增大而增大

二、例题讲解

例1.如图是反比例函数的图象的一支。

(1)函数图象的另一支在第几象限?试求常数m的取值范围;

(2)点都在这个反比例函数的图象上，比较、、的大小

例2.如图,已知一次函数y=kx+b的`图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,

求:(1)一次函数的解析式;

(2)△AOB的面积.

四、课堂练习

课本P70练习1、2题

五、课堂小结

1.反比例函数的图象.

2.反比例函数的性质.

六、课堂作业

课本P72/第5题

反比例函数实际问题 求函数中自变量X的取值范围 y=2x方-3x+5 y=根号2x+5 + x+2分之一

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数）

则此时称y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为任意不为零实数）

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；若与实际相反，

。一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k≠0) （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)

形。取。象。交。减

一次函数的图像及性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

常用公式（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)

k b

+ + 在一、二、三象限

+ - 在一、三、四象限

- + 在一、二、四象限

- - 在二、三、四象限

8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

应用

一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。

一、确定字母系数的取值范围

例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。

二、比较x值或y值的大小

例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）

A. x1>x2 B. x1

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

三、判断函数图象的位置

例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:

例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧总长为23cm，求自变量x的取值范围.

分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由总长→伸长→质量及实际的思路来处理.

解：由题意设所求函数为y=kx+12

则13.5=3k+12，得k=0.5

∴所求函数解析式为y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

例2.如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

解：（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11

6k+b=9

解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6

（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9

6k+b=-11

解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4

此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。

一次函数解析式的几种类型

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)

形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数.

正比例函数属于一次函数，正比例函数是一次函数的特殊形式.

即当一次函数 y=kx+b 若b=0，则此为正比例函数.

图像做法

1.列表

2.描点

3.连线(一定要经过坐标轴的原点)

其次，正比例函数的图像是经过原点和（1，k）[或(2,2k),(3,3k)等]两点的一条直线。

其他:当k>0时,它的图像（除原点外）在第一、三象限，y随x的增大而增大

当k<0时,它的图像（除原点外）在第二、四象限，y随x的增大而减小

总结:y＝kx(k不等于0)

而以方程的角度来说，只要将正比例函数上的一个点的坐标给出，就能确定这个解析式

若求正比例函数与一次函数，二次函数或反比例函数的交点坐标，就是将两个已知的方程联立成方程组

求出其x，y值便可

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的

比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然

还有，Y=Kx是Y=K/x 图像的对称轴.

1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数． 所表示的两种相关联的量，成正比例关系． 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例． 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．

反比例函数怎么去 例题y=1/丨x丨

讨论：

x＞0时，y=1/x

x＜0时，y=-1/x

即 : 1/x, x＞0

y=

-1/x, x＜0

先画出y=1/x图像

保留x轴上方图像

将x轴下方图像对称到x轴上方

图像见下：