二重积分性质_二重积分的形式

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。

二重积分性质_二重积分的形式

二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。

积分的线性性质：

性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）

性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外比较性：

性质3 如果在区域D上有f（x，y）≦g（x，y）估值性：性质4设M和m分别是函数f（x，y）在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积性质5如果在有界闭区域D上f（x，y）=k（k为常数），σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理：设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）。

求解方法

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

其积分区域D是由所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续。

（1）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数

（2）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数

（3）如果Ω与Ω’关于平面y=x对称

二重积分有什么性质吗？

如果积分区域D也关于直线y=-x对称，就如如下性质：把被积函数f(x，y)换成f(-y，-x)，则在D上的二重积分值不变。

二重积分的本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

扩展资料：

二重积分的性质：

1、积分可加性：函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

2、积分满足数乘：被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

3、比较性：如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则

4、当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

二重积分性质？

对称区域对应点的函数值绝对值相等符号相反，积分为0

本题对被积函数-2y而言，区域关于x轴对称，对称点(x,y)与(x,-y),函数值就是绝对值相等符号相反，所以积分是0

2y是关于y的奇函数，

区域x^2+y^2≤1关于直线y=0(x轴)对称，

所以2y的积分为0.

可以吗？

高数二重积分

这是我的理解：

二重积分和二次积分的区别

二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。

①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。

②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。

③可以二重积分不一定能二次积分。区域S={(x,y)|x>=1,|y|<=1/x^3}。恒等函数f(x,y)=1,(x,y)∈S。f在S上可以二重积分却不能二次积分（先对x再对y求积分，在y=0那条线上积分无穷）。

积分对调

上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。

可对调x,y的情况是

连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。

积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况

化为极坐标， x^2+y^2 = 2y, 即 r = 2sint ; x^2+y^2 = 4y, 即 r = 4sint ;

x = √3y 即 t = π/6 ; y = √3x 即 t = π/3 .

I = ∫∫(x^2+y^2)dxdy = ∫<π/6, π/3>dt∫<2sint, 4sint> r^2 rdr

= (1/4)∫<π/6, π/3>dt[r^4]<2sint, 4sint> = 60∫<π/6, π/3>(sint)^4dt

= 15∫<π/6, π/3>(1-cos2t)^2dt = 15∫<π/6, π/3>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt

= 15∫<π/6, π/3>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t]dt

= 15[3t/2 - sin2t + (1/8)sin4t]<π/6, π/3>

= 15(π/2 - √3/2 - √3/16 - π/4 + √3/2 - √3/16)

= 15(π/4 -√3/8)

二重积分的性质

积分区域关于直线 y=x 对称的二重积分

(1) {D区域} ∫∫f(x,y)dxdy ＝ {D1区域}∫∫f(x,y)dxdy， 当f(y，x) ＝ f(x，y)

＝ 0 ，当f(y，x) ＝ －f(x，y)

其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x) 也可换为 D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；

(2) {D区域} ∫∫f(x,y)dσ ＝ {D区域}∫∫f(y,x)dσ

这是二重积分的特殊性质，非常有用。该性质表明，当积分区域D关于直线y=x对称时，二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置，常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

记号

通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。

另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母 I 记之。

二重积分的性质有哪些？

1、对称性计算二重积分：当被积函数 integrand 是奇函数时，在对称于原点的区域内积分为0。被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

2、奇偶性计算二重积分：当被积函数是偶函数时，在对称于原点的区域内积分为单侧积分的两倍。被积函数或被积函数的一部分是否具有奇偶性，积分区间是否对称，如果奇函数则积分为0为偶函数则用对称性。

性质须知

1、被积函数提供不定积分积出来的函数，虽然看可以讨论原函数的奇偶性，但是讨论积分函数去奇偶性时，考虑的仅仅是被积函数。

2、有界性：设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

3、单调性：设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1

以上内容参考：