托勒密定理求四边形面积 巧算托勒密定理视频

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1、托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

2、如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

3、证明：（1）如下图所示。

4、不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见下图图2，先不用管它）。

5、于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图(1)中的红色角）。

6、又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。

7、于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（称为1式）。

8、（2）同理，如上图图(2)所示，三角形CDE与ABC相似。

9、从而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（称为2式）。

10、（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。

11、即AC·BD=AB·CD+AD·BC证毕。

12、扩展资料推广托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

13、简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD推论1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

14、2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

15、参考资料来源：。

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