怎么写高中数学论文——学习心态

怎么写高中数学论文

学习心态是学生学习时的心理状态。数学活动不仅是“数学认知活动。”而且也应是在情感心态的参与下进行的传感活动。成功的数学活动往往是伴随着佳心态产生的。那么怎样构成小学生学习数学的佳心态呢？笔者认为，要构成数学学习佳心态，就必须使学生在学习过程中有一种轻松感、愉悦感、严谨感和成功感。

怎么写高中数学论文——学习心态

一、轻松感。

心理学研究表明，人在轻松的时候，大脑皮层的神经元才能形成兴奋中心，使神经细胞传递信息的通道畅通无阻，思维也就变得迅速敏捷。这样可加速知识的接收、贮存、加工、组合及提取的进程，知识迅速得到巩固并转化为能力。要使学生感到数学认识活动是种轻松的乐事，而不是一种负担，必须做到如下几点：1、教学活动是师生双方的情感交流和思维交流，师生关系直接制约学生的情感和意志，影响学生的学习活动。教学实践也证明，爱是教学成功的保证。因此，教师要重视情感投资，把密切师生关系，激发学生的学习兴趣作为矫正学生对数学恐惧心理的突破口。课内多启迪多提问；课外辅之适当的数学讲座，开辟“数学角”，成立兴趣小组，他们在数学海洋中遨游，让他们看到数学天地的无限宽广。

2、解释学生所疑，解学生所难，乐学生所乐。

二、愉悦感。

愉悦感是积极情感的心理表现，具有主动积极学习的倾向性，它是数学学习佳心态的催化剂。学生在学习中有了愉悦感，学习起来就会兴趣十足，积极主动，思维机制的运转就会加速。培养学生愉悦感的重要途径有：1、各抒己见，在课内展开争论，从而强化学习气氛，激起学生高昂的情绪，以达到佳的学习心态。我让学生相互评议，双方展开热烈的争议，前者谓化小数计算简便，后者说化作分数计算简便，我鼓励学生双方举例验证，并将举出的例题给全班练习。每个人得到鼓舞，智力活动处于住状态，真正做到乐中学，学中乐。

2、解题活动中，暴露解题的思维过程，使学生从中体会到数学是思维“体操”的魁力。

3、利用数学的简捷美、对称美、和谐美、奇异美诱发学生的愉悦感。

三、严谨感。

产谨感是指人们追求科学工作作风的情感，它能促使人们言必有据、一丝不苟的科学态度。心理学告诉人们：严谨作风会迁移到教学活动中去，而数学教学活动又能形成严谨的作风，因此在数学教学过程中应重视概念的形成过程，公式、法则的报导过程。解题过程中，必须思路清晰，因果分明，牪辉市韵有任何遗漏与含糊之处，重视解题后的回顾。

四、成功感。

成功感是学习的“内动力”，是促使创造性思维引发的巨大精神力量，因此，在教学过程中，教师要及时充分肯定学生的一点一滴成绩，使学生对自己的成绩有一种独特的成功快乐和自我欣赏与陶醉。这样才能使学生保持积极的进取心态。

总之，佳学习心态，主要由轻松感，愉悦感、严谨感和成功感构成，它们相互联系，相互促进。轻松是数学活动成功的发动机，愉悦是成功的催化剂，严谨则是成功的检控器，而成功既是关键又是终的目的。

认识分数 [多元认识,爱上“分数”]

摘 要：分数的认识在新知起点教学时常概念单一，学生思维定势。以分数多种概念的相互融合作为多元教学方法，以单位“1”的多样教学，以及利用数轴图等方法，使学生对分数准确感知，为后续的分数知识学习打下坚实的基础。

关键词：分数概念；多元；单位“1”；数轴

教过分数的老师都这样说：“分数，想说认识你真不容易”。在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老。然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。教学中，我们从三年级上册开始认识分数，但直到六年级还有不少学生对分数仍然头昏脑胀，更不要说是分数应用题了，学生疑惑点在什么地方？如何突破分数概念教学？笔者进行了系统研究，并尝试了运用多元方法进行认识分数的教学。

一、分数定义多元呈现

人的第一印象往往是深刻的，第一次学不清楚知识，以后再改正过来可能要费很大的功夫。学生第一次接触到分数的概念时，老师们一般都是这样进行教学的：以分蛋糕来引入。半个也就是二分之一个，对分数定义（商定义）：分数是两个整数相除（除数不为0）的商。一带而过，教材重点是这样阐述的：把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的■。在教学中，教师从来都是以此泼重墨。

一般地,将一个单位平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数称为分数。这种用“份数”来定义的分数,易懂好学。不过,把它作为教学的切入点可以,但其内涵却很局限,容易形成思维定势。

教学中我从除法列式计算引出分数的认识。

师：4个苹果,平均分给2个人,每人分几个？列式计算。

生：4÷2=2（个）。

师：2瓶矿泉水,平均分给2个人,每人分几个？列式计算。

生：2÷2=1（个）。

师：1个蛋糕,平均分给2个人,每人分几个？列式

计算。

生：1÷2=？（个）。

由此引出半个是二分之一个,补充板书：1÷2=■（个）

由“1÷2= ”的除法意义迁移到这个分数的意义。

这时再让学生联系分蛋糕的过程说一说自己对■这个分数的感觉。

生1：是一个蛋糕分两份,只有其中的一小块了。

生2：是分成两小块中的一小块，1÷2除不了，只能用■表示了。

生：1÷2除不了，就把2放在下面，1放在上面，中间多道横线。

从学生的回答中，我发现学生想象力非常丰富，不像“直接把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的■”这一认识强加给学生，直接生成认识的单一定势。但从学生的回答中，不难发现学生对平均分并不是很明确，所以在后续的学习和练习中，进一步形成对比练习，形成表象。

每人只能分得一半——即“二分之一”。这时，脑子里如果始终是半个蛋糕，那就还没有学好分数。我们应该帮助学生想到“二分之一”即■，是一个新的数，它比1小。如果4个人平均分1个蛋糕，每个人得到■，它也是一个新的数。显然■<■。在练习中也不妨出一些计算题，形如：1÷3=■等此类的计算题。

二、使用十进分数模型

小学生熟悉的数量关系之一是币的“元、角、分”体系。1元平均分为10份，每份是1角，那么1角是1元的几分之一呢？量尺上的刻度，1厘米平均分为10毫米，那么3毫米是1厘米的几分之几呢？这是很具体、形象的模型。分数教学，总是把一个圆形大饼一分为四，形成了一种定势。但是对于学生熟悉的“十进分数原型”，却很少使用，甚至不用。这是一种浪费。

三、强化分数单位“1”教学

“平均分”并不是分数概念的关键，“单位”才是分数概念的关键。恰当地选择单位是解答应用题的好方法。不仅如此，分数加减运算也是建立在“分数单位”的基础上的，分母相同就是分数单位相同。单位相同就可以直接相加，这与量的加法一样，儿童很容易理解。

下面以教材中的几个练习题为例。

例题1

这是学生首次接触第一课时的练习题，大多老师在此题处理上侧重于让学生体会随着平均分的份数越来越多，每一份越来越少。

■通过研究，我在教学中尝试注重从单位“1”的认知入手，师出示一条彩带，把它涂满，问：用什么数来表示？

生：用1来表示。

这时呈现1在彩带上。

然后再让学生从平均分中观察，现在涂色的部分和原来的彩带相比，用什么分数表示？

问话中重点突出单位“1”是这第一根的长彩带。

例题2

这两题是教材五年级下册的练习题，在练习中学生特别难理解第1题第3个图，而在第2题第3图中4/3的反向涂色容易理解，这一反向练习，是让学生强化对单位“1”明确的重要性。第1题中第3幅图，经常有学生写成■，是学生错了吗？教学中不要急于否定学生的答案，而是让学生重点讨论每幅图中是以什么作为单位“1”的，就第1题中第3幅图来说，如果教材没有明确单位“1”的话，请问■又错在哪呢？

■■

但是类似的不带单位的图在小学数学教材的分数部分大量存在。如图3，教材的意图是要求学生在括号里填■。但是如果以1个小正方形为单位，则应填3；以2个小正方形为单位，则应填1■；以3个小正方形为单位，则应填1……

但有关单位“1”的认识，在教学中千万不能给学生思维定势。

如：三～六年级学生的问卷调查

问题：从上图中你能想到哪些分数？

（可以是多种想法）

■从调查中发现三四年级学生对单位“1”的量已定性为1个整圆。而到了五六年级有了一定的比的基础，学生选择单位“1”的能力明显增强，但在一些非常规想法中，学生选择单位的能力。

因此，分数的份数定义可以作为起点，但是，不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。

四、利用数轴图统整分数与整数、小数

数轴图是半抽象的模型，应该大量使用、反复使用，使它成为直觉。在帮助学生认识“整体”的多元化含义时，有许多好的创意，如果能后都归结到用数轴图表示，教学效果大幅增强。

在过渡到分数的商定义时，在数直线上对分数作几何解释是非常重要的。教学中在数轴图的利用上显得有些滞后，三年级教材认识分数中只出现了一题，而这一题在后面的“认识小数”教学点来看，也不是让学生着重理解分数与整数的关系的，而是侧重于十进分数为下面认识小数作准备。

■以下几题出自于五年级下册的认识分数教学中的练习题

■■

分数是相对于整体“1”而言的。因此，在三年级上学期教学认识分数后，我就会设计一些数轴图的练习，在数轴上的0和1之间，标出相应的分数等来认识分数，形成分数认识的关键一步。

■并由此层层推进，大量使用、反复使用数轴图，让学生形成直觉感知。

专家讲，我国的分数教学，擅长分数的计算，不大注意在数轴上直观地加以表示。其实，这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道，正的真分数是密密麻麻地分布在[0，1]区间上的。至少，在[0，1]内画出所有的以10为分母的真分数，加强分数和数直线之间的联系，是改进分数教学的一个方面。

[参 考 文 献]

[1]张奠宙.话说分数(上)[J].小学教学（数学版），2007（6）.

[2]张奠宙.话说分数（下）[J].小学教学（数学版），2007（7）.

[3]叶俊.“认识分数”备课参考[J].江苏教育，2009.

[4]钱建兵.在已有知识体系上认识分数[J].小学数学教师，2010（4）.

（责任编辑：李雪虹）

小数的意义和性质手抄报

小数的意义和性质手抄报如下：

人教版四年级下册“小数的意义”，就是从度量讲台桌的高及课桌面的长入手，发现量出1米之后，还分别多出1分米和2分米，于是提出问题：“如果用米做单位，不够1米怎么办？”以此引出小数产生的原因“在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数表示。”

看到这句话是不是很熟悉？因为分数的产生也是在计算、测量和分物时，往往不能得到整数的结果而产生的。（此时，不禁要问，学习了分数为何还要学习小数呢？不都是不能得到整数的结果而产生的的吗？）

接着来看教材的例1，借助米尺来沟通分数和小数的关系：1分米对应着1/10米，也对应着0.1米；3分米对应着3/10米，对应着0.3米……1/100米也可以表示为0.01米……进而总结“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”。指明小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……

B北师版

北师大版教材，相对来说是直接指认的方式认识小数的。在“小数的意义（一）”首先用币的元角分来引进小数。三句话直接指认：

“1.11元是1元1角1分。”

“1角是1元的1/10,也可以写成0.1元。”

“1分是1元的1/100，也可以写成0.01元。”

接着又将抽象的1做10等分，再次说1/10也可以写成0.1；1/100也可以写成0.01，,23 /100也可以表示为0.23……

（北师版教材对于为什么学习小数，凭什么将分数“也可以”写成小数，也没有任何的解说。）

但可以看出，两种教材对于小数的学习，都离不开分数的指引。我们可以确定的是，小数是分母是10、100、1000……的分数。（初步认识的小数都是有限小数）

【理解小数意义的本质】

张奠宙教授结合课标要求“对小数意义内容，要结合具体情境理解其意义”这句话，对“小数的意义”的教学需要“理解”哪几点，给出了以下建议：

1.引进小数是为了表示小于“单位 1”的量。

2.除0之外,自然数中小的是 1,所以自然数不能表示小于 1 的量。

3.一个数的小数部分是小于1 的数。(在《初等数论》中可以找到有关一个小数的“整数部分”和“小数部分”概念的表述）

4.小数是分母为 10,100,1000……的一类特殊分数。(注:在刚刚接触小数的时候,小数就是指有限小数。本文所涉及的小数,都是指有限小数)

5.一个小数可以记为整数部分和小数部分,小数中的小圆点叫小数点。

6.小数使用十进制位值原则记数法,满十进一,但分数不是。

综合以上了解，我们可以尝试解答问题导航的三个问题了：

小数可以用来表示微小的量。分数和小数的产生都是由于在测量过程中出现了比单位1更小的量。真分数和小数的小数部分都是小于1 的数。有限小数是一些特殊的分数，不是分数的全部。一般地说，分数的表示方式关注到整体和部分的关系，简单明确。

但是小数的表示方式采用“满十进一”的十进位制，可以和自然数的表述方式相匹配。这是小数的显著优点，也是要将分数改写为小数的缘由，我想这也是引进小数作为记数工具的一个缘由吧。小数记数也是十进位制的，在计算时也能更好的结合整数运算方法进项迁移，而分数的加减计算则需要通分，比较起来没有小数方便。

另外，小数不仅可以表示所有的分数，还能表示无理数，所以小数的出现也是发展的需要。因为生活和数学上，还有许多有限小数解决不了的问题，此时就需要借助分数才能更方便的解决。所以小数和分数各有其价值，也相互联系。

小数的意义教材分析和学情分析

小数的意义教材分析和学情分析如下：

1、教材分析

小数的产生是“利用特定单位测量的过程中遇到不能用整数数据表示时就产生了小数”，从“测量一根绳子”的长度开始，准确用不同的长度单位来表达绳子的长度，学生理解。

但如果用“米”作单位来表示，学生在理解方面还是有困难的。因此，利用“数形结合”的方式帮助学生理解小数产生的意义。

张奠宙教授说过，“小数的本质在于‘位置计数法’的拓展，而不在十分之几的表述。小数是将个、十、百、千等不断扩大的位置计数方式，朝着另一个方向加以延伸，即增加了十分位、百分位等新位置，使之成为更为完善的一种位置计数制度”。

因此，本节课以十进制作纽带，从已有的整数拓展到小数紧紧抓住整数与小数的连接点，让学生感受结构化的数学。结合具体情境，理解小数的意义。

2、学情分析

学生一年级学习币时已经初步接触过小数，进而又在三年级“分数的初步认识”和“小数的初步认识”初步了解了小数，这些都是学生系统学习小数的开始，而且学生已经完整地学习了自然数的知识、学习了整数的四则运算，能够迁移到理解小数的意义上。

搜集各个版本的“小数地意义和性质”的教材，关注点都在与十进分数联系的建构上。学生对小数有了初步的认识，会用画一画的方法解释小数的意义。

知道把一个整体平均分成 10 份，每份是 0.1；一个整体平均分成100份，每份是 0.01······为后续学习三位小数及计数单位打下坚实的基础。

老师与学生一起去“打水”？|老师和学生一起去看电影

我们常说，要给学生一碗水，教师需要有一桶水。这是非常正确的。不过，近年来，建构主义开始在教育界风行起来，于是，很多数学老师加入了崇拜建构主义的队伍，对老师需要有“一桶水”学科知识、老师的主导作用越来越淡化，甚至有人提出老师不需要有“一桶水”，老师与学生一起去“打水”(建构)就够了。虽然这些提法有合理的成分，但对教学改革存在误导。比如一部分老师不再加强基本功的练习，以致课堂教学中经常出现科学性错误；而很大一部分老师认为课堂是学生的，老师不能灌输，否认接受性学习。这些都是错误的。

对于课堂尤其是数学课堂来说，教师的主导作用应该是不容置疑的。因为数学教育过程不能等同于认识过程，数学教育需要有地将人类几千年积累的数学知识精华，在几年或十几年的时间内让学生得以基本掌握，于是，学习效率是不可避免的要求。而且，重要的一个原因是数学这门学科具有的特殊性――抽象性与严谨性。抽象性表现在两个方面，一方面是思维对象的抽象，另一个方面是思维过程中方法是抽象的。严谨性体现在数学的公理化思想中。要让学生在短时间内能够体会到这些，老师必须全盘掌控课堂，给予正确指导。课堂中一些关键性的问题当然应该由教师提出来，并向学生讲解其中的道理。比如，无理数的教学。

问题：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?

解决起来很容易，接下来很自然的问题：你知道这个大正方形的边长是多少吗?(设大正方形的边长为x，即有x2＝2)

自然地、合理地提出问题：如何求出x2＝2(x＞0)中的x?

自然地、合理地解决问题：

思考1 x2＝2(x＞0)中的x是确定的，可求的

思考2如何求?学生在目前的知识储备下，难以用精确的、逻辑的方法求得。考虑到是面积为2的正方形的边长，因此可用测量的方法求；考虑到x是确定的，且1＜x＜2，因此可用逐步逼近的方法求。

思考3由于测量有比较大的局限性，故用逐步逼近法深入探究,此时，依次有1＜x＜2，1.4＜x＜1.5，1.41＜x＜1.42,1414＜x＜1.1415，1.4142＜x＜1.4143，1.41421＜x＜1.41422,1.414213＜x＜1.414214,1.42135＜x＜1.4142136，…，但这样下去，何处是尽头?

思考4X2＝2中x不可能是有限小数，否则x2不可能等于2，而只能等于某一个小数。x也不可能是无限循环小数，否则，x就可以化为分母不为1的既约分数，x2也不可能等于2(告诉学生，这是个猜想性的结论，需要给予严格的证明)。因此，x是一种不同于以前所学的有限小数或无限循环小数，且是与这些数有着质的区别的无限不循环小数，是一种新的数。然后介绍历史上的√2发现所引起的数学危机。

自然地、合理地拓展问题：

思考5像x2＝2中的x这样的无限不循环小数。是不是只有一个?x2＝3，x2＝5，x3＝2，X4＝2…中的x是否也具有类似的性质或特点?

思考6既然这是一类与众不同的新数，我们应该给它取个新的名字。结合无理数发现和发展的历史，指出它们叫做无理数，并指出无理数和有理数合在一起统称为实数。

思考7无理数、实数是否也具有有理数所具有的运算性质?

在希帕索斯发现无理数之前，毕达哥拉斯学派的“万物皆数(整数)”的信条一直统治着人们。希帕索斯也是在研究直角三角形的时候偶然发现不可公度量的秘密，从而直接导致无理数的诞生。上面的案例正是依据数学史而设计的。可以这么说，即使今天的多么先进，学生多么聪明，十几岁的孩子几乎不可能自己去构建出无理数这个引起第一次数学危机的概念，必须得由老师适时提出问题，并给予精辟讲解。

案例中的7个思考点，对于我们这些过来人来说，看似很简单合理，一环套一环。但对于脑子里还只装有整数概念的学生来说，要理解还是有一定困难的，几乎每个思考点都需要教师的指导和讲解。尤其是思考4中的分析，学生是不能凭借一己之力或者合作学习获得的。这时教师的分析讲解将显得多么重要，主导地位显得多么突出!

实际上，对于数学思想与方法这一块的学习，学生几乎都很难建构，比如数形结合思想，由数想到形，由形联系数，是笛卡儿这样的天才数学家的功劳。学生开始接触这样的思想时，肯定是无法自己建构的。另外，数学中的一些规则、规定，也需要教师直接讲授，比如一些数学符号，直接告诉学生就行。张奠宙先生指出：真正意义上的探究学习(建构)，是高水平的老师教高水平的学生，并且是偶一为之。所以，对于西方盛行的建构主义，老师们一定要客观对待，切莫走极端。

(作者单位：岳阳县第一中学，岳阳市第十一中学)

“整数乘除”内容分析与教学建议_小数乘除整数

[编者按] 苏教版国标本小学数学教材根据《数学课程标准》的要求，在内容编排上与以往教材有着很大的不同，其中典型的就是比较合理地编排了各册的教学内容，一些教学内容由原来的整体整块呈现变为分年级、分册呈现，体现了知识学习螺旋上升的要求，更加适合学生在不同认知水平上的学习。一些习惯于以往教材教学的老师随意提前教学后续内容，轻易拔高教学目标和要求，对学生的学习产生了负面的影响。怎样在整体上把握这些教学内容的前后联系?怎样根据不同年段学生的认知特点和认知水平进行相应内容的教学?这些问题的解决有助于教师更好地教、学生更好地学。为此，我们从苏教版国标本小学数学教材中选择了5个较为典型的“知识块”――整数乘除、分数、可能性、式与方程和平面图形的面积，通过教材各册相应内容分析和教学建议，整体把握教材，弄清知识的前后联系；通过单册教材典型案例的设计与分析，探讨如何具体把握教材内容与学生认知水平之间的关系并据此教学；通过对该内容典型习题的分析，探讨如何准确地了解和刻画学生的学习水平和能力。后，我们还邀请了苏教版国标本小学数学教材主编王林老师，对如何深入把握和理解教材，如何准确把握教材中上述内容的特点和教学中应注意的问题，给老师们提出了指导意见和建议。希望这组内容对老师们理解和实践教材有启发和帮助。

一、内容分析

苏教版小学数学教材中有关整数乘除的内容主要安排在二至四年级，纵向看，整数乘法按照如下顺序编排：[二年级上册]乘法的意义和表内乘法→[二年级下册]两位数乘一位数→[三年级上册]三位数乘一位数→[三年级下册]两位数乘两位数→[四年级上册]100以内的口算乘法→[四年级下册]三位数乘两位数。

整数除法按照下面的顺序编排：[二年级上册]除法的意义和表内除法→[二年级下册]有余数除法→[三年级上册]两位数除以一位数(商是两位数)→[三年级下册]三位数除以一位数→[四年级上册]三位数除以两位数。

横向看，在每一册的教材安排中基本都涉及了口算、笔算、估算和解决问题这几方面，并且整数乘除的内容在教材中遵循了循序渐进、螺旋上升的原则。

1、整数乘除法教学中的情境设计。

小学生对算术运算概念的理解常常建立在情境的基础上，为了在情境与运算概念中建立联系，就要利用情境，也就是为学生提供丰富的表征。这些表征包括：以经验为基础的活动；可操作的活动；图画和图表：口头语言；书面语言。教材中对情境的设计与处理较好地体现了多样化的原则。

以乘除法的意义教学为例。乘法意义的教学为学生提供了一幅生动活泼的图画(见下图1)，再提出问题：兔一共有多少只?鸡呢?这种类型的图画是学生在日常生活中常见到的，看这样的图学生很有经验，这就是以经验为基础的活动。

除法意义的教学创设了一个开放的活动情境――分6个桃(见图2)，在教学之前学生都有分东西的经历，学生可以按照自己的想法思考并动手操作分这6个桃，这就为学生创造了一个具有操作性的活动情境。

再看表内乘除法的计算教学，也为学生提供了丰富的表征。如2～4乘法口诀的教学(见图3)，在学生通过情境图掌握2、3的乘法口诀后，列表编写4的乘法口诀；又如表内除法的教学中(见图4)，让学生利用10个小朋友打球，每2人一组的情境图，理解除法算式10÷2。这些都是以图画或图表的方式帮助学生建立表征。

教材中关于乘除法意义的教学都是创设了不同的情境，联系学生的生活，激活学生的经验，把抽象的概念教学建立在实景、实物表象的基础上。学生有了多样化的经验后，有助于他们对抽象数学知识的理解并建构数学知识的意义。

2、整数乘除法教学中的数学思想。

小学生学会了整数乘除法，并用它来解决问题，在这样的学习过程中，也形成了他们思考问题的策略，并从中感受各种数学思想。教材在数学思想方面也作了许多孕伏和渗透。

(1)渗透函数的思想。

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系。小学生对函数的理解不是符号化的理解，而是在现实生活中的体验。小学生对于函数的体验是在日常的数学生活实践的基础上获得的，它和问题情境紧密相关。例如三年级上册教材中教学三位数乘一位数(乘数中间或末尾有0的乘法)的练习部分设计了一道关于乘法填表练习(见图5)，让学生先填表，然后通过观察体会匾的个数和蚕茧的个数之间的依存关系和变化规律。

这就是通过表格的问题情境，结合不同乘除教学内容进行的一种函数思想渗透。

(2)渗透比例的关系。

比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构，比例也是一种函数思想。小学生对比例关系的体验也是需要在现实问题情境中进行的。虽然教材在六年级有单独教学比和比例的单元，但其实在之前就进行了逐步渗透。例如四年级上册的除法练习中设计了一道填表的题(见图6)，让学生先填表再说说发现。学生不仅会发现被除数和除数之间的倍数关系，也可以通过观察被除数自身的变化或除数自身的变化，发现其中的倍数关系。这就是结合倍的知识在渗透比例的关系。

(3)渗透“不变量”。

三年级上册乘法单元中涉及“单价、数量、总价三量的关系”问题，当总价和数量这两个变量发生变化时，单价保持不变，单价反映了总价与数量之间的关系，像这样的量就是“不变量”。例如四年级上册除法单元中三位数除以整十数练习部分的一题(见图7)，不变量是长方形土地面积，学生也能从面积不变中体会长和宽这两个变量的变化规律。

3、整数乘除法教学中的数学能力。

(1)估算能力。

估算是重要的数学技能，估算在一定程度上反映出学生的数学能力，对学生的数学思维发展具有促进作用。苏教版教材中，估算教学与口算、笔算的教学相结合，逐步渗透进行。整数乘除的估算第一次出现在二年级下册连续进位乘的前一个练习中(见图8)，第一次在例题教学中出现是在连续进位乘的笔算教学中(见图9)。这两次估算教学都体现了估算的同一种策略――简约，把两位数看成一个整十数计算比较简单。

(2)口算能力。

口算能力是指不用纸笔，直接在脑中进行计算的能力，在计算能力中占有重要的位置。是笔算与估算的基础。口算常常会用到估算的策略，但是口算是为了得到一个准确的答案，笔算能力是在口算能力的基础上发展起来的。教材中口算部分的编排与估算类似，都采用了逐步渗透的方式。小学生口算内容的核心是基本口算，在整数乘除内容中主要是指乘法口诀。

除了表内乘法和表内除法的教学，教材中其他整数乘除的口算教学基本上是渗透了一种策略，我们可以把它理解为一种“分解因数”的策略。以各册教材中的一道乘法口算练习为例(见图10)，这些练习都是把其中的一个乘数分解成一个数乘10或乘100，使计算简便。

二、教学建议

1、乘除法概念的正确建构。

乘除法是继加减法后再学习的一种运算，学习乘除法时，学生在理解乘除法的过程中，数学思维会发生重要的变化。

(1)乘法概念的建构。

求几个相同加数的和就是乘法，这句话可以理解为加法在某种程度上是乘法的基础，解决乘法运算的方法之一就是重复做加法。但如果将乘法仅仅看成是复杂的加法，显然是不对的，乘法需要小学生更多的数学理解。例如，教材中教学2的乘法口诀时所呈现的是一个生活情境(见图11)：1个跷跷板可以坐2人，2个跷跷板可以坐4人。其实这是一个“一对多”的情境，1个跷跷板对应2个人(1与2对应)，2个跷跷板就是2乘2得4。它并不是简单的几个相同数相加的问题，而是两个之间的一与多相对应的恒定关系。这种方法与加法思维方式具有本质区别。

(2)除法概念的建构。

除法概念的建构是基于平均分的活动的，平均分的活动虽然也和加减法一样，涉及总体与部分的关系，但是也有很大的不同。在加减法中，整体是部分之和，但每一部分无需相等。如二上认识除法的例题教学中(见图12)，第一种分法就是基于加减法的理解，第二种和第三种分法就要考虑3个因素：总个数、平均分和每份同样多。所以，平均分是一种不同于加减法的新情境。

2、整数乘除法教学需要一定的记忆。

口算是笔算的基础，能熟练口算，特别是基本口算，对笔算具有重要作用。这里的基本口算主要指乘法口诀，这也是口算表内除法的基础。张奠宙说：“没有记忆就无法理解，理解是记忆的综合，数学双基强调必要的记忆。”乘法口诀的教学需要记忆，课程标准也要求在第一学段结束时，口算要达到每分钟8-10题。因此，在教学时可以从以下几方面入手：

(1)利用乘加、乘减教学，帮助记忆乘法口诀。

教材中乘加、乘减教学的主要目的并不是为了教算顺序，而是让学生进一步理解乘法的意义，记忆乘法口诀。例如乘加乘减课例中的一道练习题(见图13)，就是用意明显的特别设计。其中3×2+2可以理解为3个2加1个2是4个2得8，渗透的是相邻乘法口诀之间的联系，这有助于学生有意义地记忆乘法口诀。

(2)利用多样化的活动练习，帮助记忆乘法口诀。

小学生解决基本乘除口算题的策略中有一种称为“直接提取”，使用这种策略时，这些计算已经在学生头脑中有一定的答案，他们所要做的是从长期记忆中提取出来。有研究表明。口算熟练的学生和不熟练的学生相比，前者更偏好使用“直接提取”，而后者难以做到。所以，在教学时要更加关注口算不熟练的学生。教材中采用了多种练习方式帮助学生记忆口诀，如编口诀，整理口诀，积累口诀，题组练习等。教师在教学中也可以组织学生通过不同的方式练习口算，比如独立口算，两人互相出题口算，三人或四人口算比赛，集体抢答等。

3、加强估算教学。

估算在生活中有着广泛的应用，一个人在日常生活中使用估算的次数要远远大于精确计算。在整数乘除教学中，估算的教学与笔算的教学总是紧密结合的，教师要注重发展学生的估算意识和估算策略。小学生估算常用的策略主要有简约、转换和补偿，但是不同的学生对同一题使用的策略常常不尽相同。例如三年级下册两位数乘两位数的估算(见图14)，学生在估算29×42时就会出现不同的方法，有的把29和42分别看作20和40；也有的把29和42分别看作30和50；还有的把29和42分别看作30和40。这三种方法采用的策略都是简约，把两位数看成整十数再算，但是使用第三种方法的学生还涉及了其他数学思维过程，可以解释为“29接近30，42接近40，这样估计的结果趋于精确”。前两种方法虽然没有第三种精确，但也是正确的。教师可以在笔算教学完成后让学生比较一下估算与笔算的结果，逐步帮助学生优化估算策略。

4、注重培养学生解决问题的能力。

解决问题与计算教学相结合是苏教版教材的特色之一。在计算教学时穿插解决问题，又在解决问题中巩固计算，同时渗透解决问题的策略，将为第二学段专门学习解决问题的策略打下坚实基础。比如教材在第一学段解决问题时以图文结合的方式呈现问题情境，设置“情境”就是一种策略。用人或物模拟问题情境，不仅使学生更清楚问题，还便于用语言具体叙述，易于理解。又如四年级上册除法单元的练习题(见图7)，如果将这题的发现应用到下面一题(见图15)，这种“延伸”策略，会有利于学生对具体问题的理解和解答。

食堂买来40筐西红柿，用去800元。

(1)平均每筐西红柿多少元?

(2)如果每筐西红柿的价钱降到原来的一半，用800元可以买多少筐这样的西红柿?