比赛数学基础知识大全 数学基础知识竞赛方案

全国高中数学联赛一试知识点

考试范围:

比赛数学基础知识大全 数学基础知识竞赛方案

一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

二试

1、平面几何

基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和小的点--重心。三角形内到三边距离之积的点--重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的n边形的中，正n边形的面积。

在周长一定的简单闭曲线的中，圆的面积。

在面积一定的n边形的中，正n边形的周长小。

在面积一定的简单闭曲线的中，圆的周长小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

3、立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

的划分。

覆盖。

梅涅劳斯定理

托勒密定理

西姆松线的存在性及性质。

赛瓦定理及其逆定理。

能用于高中数学的竞赛知识

赫尔台不等式：

设ai＞0,bi＞0（i为正整数）,P＞0,（1／P）＋（1／q）＝1

则 n n n

∑ aibi≤（∑ai∧p）∧（1／p）×（∑bi∧q）∧（1／q）

i＝1 i＝1 i＝1

等号当且仅当ai∧p＝kbi∧q（i,k均为正整数）时成立

费马小定理：p为质数，a为正整数且（a,p）＝1,

则a∧（p－1）≡1（mod p）

立体几何:向量外积求法向量，向量混合积求体积。

非常简便的算法，由于这儿没法打行列式，所以只好你自己上网搜一下了，算法很好记。

极限:洛必达法则求极限(求0/0型和∞/∞型的未定型极限)

lim

f(x)/g(x)=lim

f'(x)/g'(x)

比如x→0，lim

sinx/x=lim

cosx=1，当然不会这么难

一般为x→2，lim

(x^2-3x+2)/(x-2)=lim

(2x-3)=1

函数:隐函数求导法则，也就是复合函数求导法则

xy=1，两边求导y+xy'=0，y'=-y/x=-1/x^2

数列(级数部分):

1.后项与前项比值的极限求放缩公比(详见达朗贝尔审敛法)

比如要证明Sn

q=lim

a/a，q<1时，则a趋近公比为q的等比数列，而后者是有界的，所以可以进行放缩

a

2.不动点求递推数列极限(主要用于讨论范围)

常见的如a=(pa+q)/(sa+t)，令a=a=x，代入递推式，x即不动点

若可以证明a在某个范围内，则x就是a的极限。这个可以求a的范围。

3.齐次线性递推公式(分方程)求解

这个方法非常快，但是不能用于高中的计算题。可以进行验证。

一般多为二阶a+pa+qa=0

构造方程x^2+px+q=0

1.两根x1，x2，则a通解a=C1(x1)^n+C2(x2)^n

(注意x1、x2可以是复数)

2.重根x0，则a通解a=(C1+C2n)(x0)^n

C1、C2都是待定系数，在通解中代入已知的两项的值，一般是a<1>和a<2>就可以求出C1和C2

比如

例1:

a-a-a=0，a<1>=a<2>(斐波那契数列)

x^2-x-1=0，解得x1=(1+√5)/2，x2=(1-√5)/2

所以a=C1[(1+√5)/2]^n+C2[(1-√5)/2]^n

代入

a<1>=1=C1(1+√5)/2+C2(1-√5)/2

a<2>=1=C1[(1+√5)/2]^2+C2[(1-√5)/2]^2

即解出C1、C2

从而得出a

例2:

a-4a+4a=0，a<1>=2，a<2>=4

x^2-4x+4=0，重根x0=2

通解a=(C1+C2n)2^n

a<1>=2=(C1+C1)2

a<2>=4=(C1+2C2)2^2

解出C1、C2，从而得到a

不等式:柯西不等式(很少涉及)有多种形式

不多就这些了，其他的方法不易作，而且这有些也不是竞赛知识，只是一些大学数学的基础知识。

这些方法在考试中一定要注明出处(定理名称等)，否则要扣分的。

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