为何正多面体如此之少 多面体都是凸多面体吗

为什么正多面体多只到“正二十面体”

另外一个角度的通俗解答（好理解，但证明不严格）：

为何正多面体如此之少 多面体都是凸多面体吗

为何正多面体如此之少 多面体都是凸多面体吗

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点是m条棱，即相邻m个n边形。

正n边形的顶角角度为180(n-2)/n，

正多面体每个顶点可能的角度之和为m×180(n-2)/n<360°，（=360°将成为一个平面），

因为m、n均一定≥3，

正3边形，顶角为60°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3、4、5，

正4边形，顶角为90°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，

正5边形，顶角为108°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，

正6边形，顶角为120°，不可能有由正n边形（n≥6）构成正多面体，

综上所述，正多面体构成的可能性只有以上5种。

n m 类型

3 3 正四面体

3 4 正八面体

3 5 正二十面体

4 3 正六面体

5 3 正十二面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种，而没有更多。

为什么正多面体多只有20个面？

另外一个角度的通俗解答（好理解，但证明不严格）：

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点是m条棱，即相邻m个n边形。

正n边形的顶角角度为180(n-2)/n，

正多面体每个顶点可能的角度之和为m×180(n-2)/n<360°，（=360°将成为一个平面），

因为m、n均一定≥3，

正3边形，顶角为60°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3、4、5，

正4边形，顶角为90°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，

正5边形，顶角为108°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，

正6边形，顶角为120°，不可能有由正n边形（n≥6）构成正多面体，

综上所述，正多面体构成的可能性只有以上5种。

n m 类型

3 3 正四面体

3 4 正八面体

3 5 正二十面体

4 3 正六面体

5 3 正十二面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种

多面体至少几个面

多面体至少有4个面。

正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面矗、正二十面体五种。其中面数少的是正四面体，面数多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。

古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。

多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体。 它有三个相关的定义，在传统意义上，它是一个三维的多胞形，而在更新的意义上它是任何维度的多胞形的有界或推广。将后者进一步一般化，就得到拓扑多面体。由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展，如果其他各面都在这个平面的同侧，就称这个多面体为凸多面体。

多面体至少有4个面。多面体依面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等。把一个多面体的面数记作F，顶点数记作V，棱数记作E，则F、E、V满足如下关系：F+V=E+2。

为什么正多面体只有5种 正多面体只有5种证明

1、证明：设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即Nf=2E（1式）。同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即mV=2E（2式）。由1式、2式，得，F=2E/n, V=2E/m，代入欧拉公式V+F-E=2，有2E/m+2E/n-E=2整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E。

2、由于E是正整数，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2（3式），3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一个等于3。

3、当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5。

4、同理n=3，m也只能是3，4，5，所以n m 类型，3 3 正四面体，4 3 正六面体，3 4 正八面体，5 3 正十二面体，3 5 正二十面体，由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体，所以正多面体只有5种。

为什么世界上只有5种正多面体

证明如下：设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以

因为两个相邻顶点有一公共棱，所以

又因多面体的Euler定理，得V+F-E=2，从上面三式可得

要使得上面的式子成立，必须满足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因为m≥3，所以

于是n<6。

当n=3时，m<6，所以m能取的值是3、4、5；

当n=4时，m<4，所以m能取的值是3；

当n=5时，m<10/3，所以m能取的值是3。

当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30；所以正多面体只有上述五种。

正多面体所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的。

正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数少的是正四面体，面数多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。

古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。

扩展资料：

判断正多面体的依据有三条：

1、正多面体的面由正多边形构成

2、正多面体的各个顶角相等

3、正多面体的各条棱长都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不相等因此不是正多面体。

正多边形都是轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形又是中心对称图形 如果 n 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。如果 n 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。

例如：正多边形的周长与它的外接圆的直径的比值，与直径长短无关。古代数学家正是利用这一性质，逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近它的外接圆的周长，从而求得了圆周率的近似值。

太简单了 考虑能够构成正多面体的正多边形只有 三角形、正方形、正五边形 因为从一个顶点至少向外发3条楞，也即正多边形顶角小于120度 这样一个顶点处就有五种情况： 三个正三角形（正四面体） 四个正三角形（正八面体） 五个正三角形（正二十面体） 三个正方形（立方体） 三个正五边形（正十二面体）

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为什么世界上只有5种正多面体

太简单了

考虑能够构成正多面体的正多边形只有

三角形、正方形、正五边形

因为从一个顶点至少向外发3条楞，也即正多边形顶角小于120度

这样一个顶点处就有五种情况：

三个正三角形（正四面体）

四个正三角形（正八面体）

五个正三角形（正二十面体）

三个正方形（立方体）

三个正五边形（正十二面体）