等价无穷小的使用条件 极限中等价无穷小的使用条件

等价无穷小加减法使用条件？

注：^ 是乘方，~是等价于，这是我做题的时候总结出来的。

极限存在且为0

等价无穷小的使用条件 极限中等价无穷小的使用条件

等价无穷小的使用条件 极限中等价无穷小的使用条件

而同阶无穷小的两个无穷小之比是个不为0的常数。因此，同阶无穷小中包含等价无穷小。

被代换的量，在取极限的时候极限值为0

被代换的量作为加减的元素时就不可以使用，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换。

求极限时什么时候适合用等价无穷小

x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。

[(1+x)^n-1]~nx;

loga(1+x)~x/lna;

a的x次方~xlna;

扩展资料:

求极限时使用等价无穷小的条x~ln(1+x)~(e^x-1);件：

1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

参考资料来源：

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。

举一个例子让你明白：

用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。

我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；

而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。

关于等价无穷小替换的使用条件问题

等价无穷小加减法使用条件：

求极限时使用等价无穷小的条件： 1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。 2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

有必要，因为x是无穷大，tanx/2是无穷小，无穷大乘以无穷小老师没讲过函数，忽略；

tanx/2/1/x，当x->无穷时就是0/0型，就可以用洛必达和等价无穷小公式替换；

等价无穷小只有在x趋于0时才可以用么？如果不是，使用条件是什么呢？

根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0

等价无穷小不是只有x趋近于0的时候才能用，a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。除此之外，加减法都不能用等价无穷小替换。而是只有在函数值趋近于0，即函数式是无穷小的时候才能用，且被等价的无穷小是在乘除法中。

例如当x→1的时候，sin（x-1）和x-1这两个都是无穷小，而且等价。那么在x趋近于1的极限中，如果乘除法中出现了sin（x-1），可以等价替换成x-1。

而sin（x-1）在x→0的时候，不是无穷小，那么当x→0的时候，sin（x-1）不能和无论是x还是x-1进行等价。

解答如下：

等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的 等价无穷小

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）

如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。

如果lim b/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。

从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b

接着我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)

等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的 等价无穷小

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）

如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。

如果lim b/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。

从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b

接着我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)

加减法在什么情况下不能用等价无穷小替换

求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。

极限中的加减法在任何情况下都不能用等价无穷小替换。

不过，一般能够利用等价无穷小的题目往往都可以使用洛必达法则来求解，后者可以解决80%的极限问题。应试的时候先用洛必达，搞不定了再来等价无穷小

等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小，从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

扩展资料：

等价无穷小与同阶无穷小的区别：

1、定义

等价无穷小：是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。

同阶无穷小：如果lim F(x)=0，lim G(x)=0，且lim F(x)/G(x)=c，c为常数并且c≠0，则称F(x)和 G(x)是同阶无穷小。同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。

2、性质

等价无穷小的两个无穷小之比必须是1；

参考资料来源：

求极限分母使用等价无穷小的条件是什么？

下面来介绍等价无穷小：

分母使用等价无穷小的要求是计算的简便与计算精度的平衡

计算的简便则是阶次越少越好，应试比如b=1/x^2，a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。如有c=1/x^10,那么c比ab都要高阶，因为c更快地趋于0了。的角度2阶就可以。

所以，在做题的过程中就需要依靠经验了，刚开始阶次多一些，5阶6阶；熟悉了后能找到这个平衡点。

等价无穷小的使用条件

(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；

泰勒级数可以把非幂的超越函数（如sin/cos/log/exp...）变成多个幂函数相加的形式，进而在化简分式函数，求超越函数与幂函数结合的混合分式函数的极限有用。

例如求SINX/X函数在x趋近0的极限，先用泰勒展开（x-1/3x^ 3+...)利用等价无穷小把从-1/3x之后项目削去就可以得到结果“1”（LZ如果保留了-1/3x^3结果出错误）。

计算(1-cosx)/x^2在x趋近0时候，设LZ不用泰勒式把分子“1-cosx”展开为（1/2x^2+....）的话求出极限将会是错误的，LZ要把分式分开为(1/X^2)-(cosx/x^2)分别当x→0，且x≠0，则求极限，再相减就大错特错。

上述为超越式（分子）与幂函数（分母）混合函数在X趋近0时候做法。

如果是求它们在x趋近无穷大，也可用同样方法。

等价无穷小只有在x趋于0时才可以用么？如果不是，使用条件是什么呢？

注意乘除也可以用等价无穷小，例如lim(x->∞)[(n+1)tan1/x]/[ntan1/x]=lim[(n+1)/n]lim[(1/x)/(1/x)]

解答如下：

等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的等价无穷小

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

如果limb/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）

如果limb/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。

如果limb/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。

从无穷小的比较里可以知道，如果limb/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即limb/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b

等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：设lima～a'、b～b'则：li求极限时，使用等价无穷小的条件：ma/b=lima'/b'

接着我们要求这个极限lim(x→0)sin(x)/(x+3)

根据上述定理当x→0时sin(x)～x(重要极限一)x+3～x+3，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0)x/(x+3)=0

等价无穷小的使用条件（一定要0分之0型吗，一定要x趋向于0吗）如果不是请举反例

设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小，

看来楼主没有搞清楚等价无穷小的含义。首先，楼主可以去书上看等价无穷小的确切定义。先回答第二个问题。简单的说只要这两个无穷小量的比在极限过程中是趋于1的那么它们互为等价无穷小，而这个过程未必是x趋近于0的时候发生的。再说个。等价无穷小应用门槛很低，只要本身是所求极限的一个因式，就可以不思索的替换。而如果是和式，就不能直接替换了，要换只能用泰勒换，虽然结果确实有可能和用等价被代换的量，在取极限的时候极限值为0；无穷小直接换是一样的。因为反例实在是太容易找到，你随便做点题自己就发现了，这里就不写了。

什么情况下才能用等价无穷小

当x→0时，等价无穷小：

第1，被等价的，和等价替换后的，都必须是无穷小，如果是无穷大，或其他极限情况，就不能考虑了。例如当x→0的时候，sinx和x是等价无穷小，在适当的时候，可以替换。就不能以此认为在任何情况下，sinx和x都可以替换，在x→∞，在x→1，在x→π等等这些情况下，sinx和x不都是无穷小，不存在能不能替换的可能。

更加经典的：

第2，等价无穷小一般是在乘除法中使用，是被等价的无穷小，整个作为一个整体出现在某个式子的乘除法中，加减法一般不能使用。

一般容易出错的，基本上就是上面两条。

等价无穷小替换的条件

比如b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

求极限时使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在去极值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(1/x)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

等价无穷小是吴城小的一种在同一点上这两个无穷小之间比的极限称，这两个无穷小是等价的等价无穷小也是同级无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一级的泰勒展开攻公式