三角形五心及其性质_三角形五心及其性质高中

三角形的五心分别是什么

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

三角形五心及其性质_三角形五心及其性质高中

一、三角形的内心和内心的性质

1、“内心”是三角形的角平分线交点，也是三角形的内切圆的圆心。

2、内心性质

（1）三角形的任一个顶点和它的内心的连线必定平分这个角。

（2）内心到三角形三条边的距离相等，而且都等于这个三角形的内切圆的半径长。

（3）设一个三角形ABC的内心为“O”，内切圆半径为r，三条边长分别为a、b、c，则三角形ABC的面积S=(1/2)x(a+b+c)xr。即三角形的面积等于三角形周长与其内切圆半径乘积的一半。

二、三角形的外心和外心的性质

1、“外心”是三角形的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。垂直平分线也叫“中垂线”。

2、外心性质

（1）三角形的任意一条边的中点和外心的连线必定在这条边的垂直平线上，所以也必定垂直平分这条边。

（2）外心到三角形三个顶点的距离相等，而且都等于这个三角形的外接圆的半径长。

三、三角形的重心和重心的性质

1、“重心”是三角形中线的交点。

2、重心性质（高频考点）

（1）三角形顶点与重心的连线必定在三角形的一条中线上。

（2）延长三角形的一个顶点与重心的连线，使得交于这个顶点的对边上一点，则这个交点为边上的中点。

（3）三角形的重心把三角形的任意一条中线分成两条线段，其中重心到三角形顶点的线段长是另一条线段长的2倍。

四、三角形的垂心和垂心的性质

1、垂心是三角形高线的交点。

2、垂心性质

（1）三角形的顶点与垂心的连线必定在三角形的一条高线上。

（2）三角形任何一个顶点和垂心的连线必定垂直于这个顶点的对边。

三角形五心及其性质

三角形五心及其性质：

五心：重心，外心，垂心，内心和旁心。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=（a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/（a+b+c）。

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO：ON=AB：BN=AC：CN=（AB+AC）：BC。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

三角形的五心及其性质是什么？

三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

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一、三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

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二、三角形外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等

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三、三角形垂心定理

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB

证明：

连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

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四、三角形内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

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五、三角形旁心定理

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形的五心

三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心称之为三角形的五心.五心有很多重要性质.

1.重心:三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心.主要性质有:

(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1;

(2)重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比;

(3)重心到三角形3个顶点距离的平方和小;

(4)在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.即设 、 、 的坐标分别为 ,则重心 .

2.垂心:三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心.与垂心有关性质:

(1)三角形三个顶点、三个垂足、垂心这 个点可以得到 个四点圆;

(2)三角形外心 、重心 、垂心 三点共线,且 ;(此直线称为三角形的欧拉线(Eulolu line));

(3)垂心到三角形一顶点距离等于此三角形外心到此顶点对边距离的 倍(可用三角知识证得).

3.内心:三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心主要性质有:

(1)三角形的三条内角平分线交于一点,该点即为三角形的内心;

(2)直角三角形内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的的二分之一;

(3)三角形的内心到边的距离(即内切圆的半径r)与三边长及面积之间有关系: .

4.外心:三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心有关性质:

(1)三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外心;

(2)若 是 的外心,则 ( 为锐角或直角)或 ( 为钝角);

(3)当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边的中点上;

(4)外心到三顶点的距离相等.

5.旁心:三角形的旁边圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心有关性质:

(1)三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心;

(2)每个三角形都有三个旁心;

(3)旁心到三边的距离相等;

(4)旁心与半周长( )形影不离.如图, 是 的一个旁心作 于点 , 于点 , 于点 .显然, , , . .即 .

6.三角形各心之间的相互联系:

(1)等腰三角形的内心外心、重心、垂心共线(均在对称轴上);

(2)等边三角形的内心外心重心、垂心共点;

(3) 的内心 是切点 的外心;

(4) 的外心 是中点 的垂心;

(5) 的垂心 是垂足 的内心;

(6) 的重心 是中点 的重心;

(7)若三角形中同时出现内心旁心,就构成了三组三点共线、三组四点共圆.

如图, 为 的内心, 、 、 是 的三个旁心.显然, 、 、 等三点共线; 、 、 、 等四点共圆,且 等是三个圆的直径.

7.三角形五心的一个向量统一表示:三角形五心有一个向量的表示 .

(1)当 为 的外心 时, ;

(2)当 为 的内心 时, ;

(3)当 为非直角三角形的垂心 时, ;

(4)当 为三角形重心 时,则 ;

(5)当 为三角形旁心 时,则:

对旁心 ,有 ;

对旁心 ,有 ;

对旁心 ,有 .

三角形五心定律及性质

三角形五心定律及性质如下：

三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。

三角形“五心歌”，三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心。

垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心。外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心，内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心，中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

三角形五心介绍

重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓，长短之比二比一，灵活运用掌握好。

垂心三角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。

内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然。

外心三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆，“内心”，“外心”莫记混，“内切”，“外接”是关键。