泰勒公式用法详解 泰勒公式使用技巧

泰勒公式有几种具体的用法？

常用的泰勒公式只有六个具备口诀，具体如下：

泰勒公式用法详解 泰勒公式使用技巧

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。

2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。

3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。

4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。

5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。

6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。

泰勒公式：

18世纪早期英国牛顿学派秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生；1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。

1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。

1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。

从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。

1717年，他以泰勒定理求解了数值方程，后在1731年12月29日于伦敦逝世。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世，这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来，然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值，这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。

泰勒公式各种看不懂啊。它是不是可以用来求极限还有N阶导数？到底要怎么弄啊。不要网上抄的。

我觉得首先要理解Taylor公式的含义，大部分人都没有真正吃透Taylor公式的含义，只能人云亦云，无法做到灵活应用。以下主要谈理解，公式的具体形式请自行看书，在理解的基础上记忆。

Taylor公式，简单来说就是给定正整数n和点x0, 对于一个n次可导的函数f(x), 希望给出一个n次多项式g(x)（称为n阶的Taylor多项式），使得g(x)与f(x)在x0附近充分接近(不只是函数值，包括各阶导数值)。这个g(x)就是书上写得那一大串，虽然复杂，但你心里要清楚g(x)就是一个关于变量x的n次多项式，项x^k前面的系数就是f_k(x0)/k!, 这里f_k(x0)指的是f的k阶导数在x0点的取值，是一个常数。再强调一下，Taylor公式里面x是变量(取定点x0和阶n以后)，主部g(x)虽然复杂，本质上无非是一个n次多项式，复杂之处在于系数用到了f的k阶导数在x0点的取值。

下面谈余项。所谓余项（具体来说是n阶余项），很简单，就是f(x)-g(x), 记为R(x). 所谓Peano余项实际上是指出了R(x)的性质：x->x0时，R(x)/(x-x0)^n->0. 注意，此式之所以成立，是因为g(x)选得足够巧妙，具体的证明若有兴趣可以参看课本。由小o的定义，上面这个式子可以换种表达方式，写成R(x)=o((x-x0)^n), x->x0. 将此式代入f(x)=g(x)+R(x)，就得到了书上给的“带Peano余项的Taylor公式”。

另一类余项是Lagrange余项。Peano余项指出了R(x)在x->x0时的性质，实际上是个极限式而非等式。Lagrange余项则给出了R(x)的一个等式表达，其中含有一个介于x和x0之间的中值c. 对于c的具体值我们不知道，往往也不关心，只要知道存在这样的c即可。Lagrange余项可以看做Peano余项的进一步发展，但要注意此时条件中的可导性要强一点。

学了幂级数以后，对于Taylor公式的认识应该更深一步。把一个函数展成幂级数，实质上就是在Taylor公式中令n->∞，这样余项中的不确定性就消除了，Taylor公式变为了一个精确的幂级数的等式，显然更利于应用。当然，这样做需要有条件，因此要考虑幂级数的收敛域等一系列问题。

在实际应用中，首先要解决求Taylor公式的问题。注意，除了书上的几个基本函数，如sinx, (1+x)^a, ln(1+x)等(在x=0处)，求具体函数的Taylor展开时一般不直接用定义，而用间接法，也就是利用已知函数的Taylor展开来求，具体方法很多书上都会讲。需要注意的是间接法的理论基础，实际上这里用到了Taylor公式的性。

Taylor公式是一元微分学的顶峰和集大成者，相当多的问题都可用其解决。但Taylor公式也不是的，并非所有问题都能用Taylor公式，尤其是当可导性不够是。即使能用，也有可能是杀鸡用牛刀。这没法一概而论Taylor公式适用于何种题，需要具体问题具体分析，并且积累一定经验。但我可以谈谈我的感受。

一般来说，涉及某些具体初等函数的问题，如果这些函数的Taylor展开比较容易求的话，常常可以用到Taylor公式。常见的问题是利用带Peano余项的Taylor展开求比较复杂函数在某点附近的阶，进而求极限之类。另外，有些函数在某点处的n阶导数不太好求，但是在该点的Taylor展开用间接法比较容易求，此时，可以用Taylor展开反求函数的高阶导数。

有些问题不仅仅是考虑极限，这时常常需要给出等式的Lagrange余项。典型例子是某些中值问题。

特别值得注意的是，Taylor公式不仅仅用于具体函数，常常也用在比较抽象的问题上。一个基本的例子是利用高阶导数判断函数在驻点是否取极值，取何种极值。也经常利用带Lagrange余项的Taylor公式，用函数的高阶导数控制低阶导数（或函数本身）。这一类的应用往往比较灵活，也较有难度。

在应用中不要流于形式，要理解为什么可以且需要这么用。比如在求函数阶的问题时，需要确定Taylor公式展开到多少阶够用，初学时这问题有些棘手，但只要理解了这种方法的内在逻辑并且明确目标，即使展少了在过程中也能看出问题，展多了的话在过程中也很容易看出来“浪费”了，经过几次就能对展开的大致阶数有个快速的估计。相反，如果只是照猫画虎不知所以然，自己做的时候很容易摸不着头脑，也没有纠错能力。

在应用时还要注意灵活。前面理解的时候是固定x0与n, 把x看作变量。但实际应用中，有时不只在一点展开，有时需要取不同的n, 这些技巧可以慢慢积累。

你可以自己去查《数学分析》泰勒公式是用来求N阶导数 它就是一个简单的公式 按照式子展开就可以了 不是很复杂的运用

泰勒公式得第n次项系数是该函数的n阶导数再除n！，

求极限主要是用在L'Hospital法则中，例如用sinx=x,cos=1-x^2/2

泰勒公式，就是把一个函数展开成N项和，并且可以用通项公式描述。

泰勒公式的作用很多，几乎。比如它可以把无穷级数进行展开，或者求和。

具体的用法在学无穷级数的时候就会学到。

泰勒公式一般不需要自己去逐阶求导，那样很麻烦。有许多现成的公式可以用，书上都有的~

补充：考研时的用法：求不定式的极限，证明不等式，求n阶导数，证明特征点存在性，确定无穷小的阶。具体的不是一时半会儿能说明白的，要看大量例题，需要买教材或上考研培训班。

sinx泰勒公式怎么用？

sinx用泰勒公式展开是sinx=x-1/3！x^3+1/5！x^5+o（x ^5）。

sinx的泰勒展开式是不固定的，sin(sinx)∽x，设sinx=t，则sint~t，所以sint~t~sinx~x，由等价无穷小的传递性，因此泰勒展开为x，也可以直接算，求五次导数，可以解出除了x项以外都是0。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

高等数学中的应用

在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：

(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。

(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。

(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。

(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。

(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

谁能和我说说泰勒公式怎么用啊,说一些实际的用法.

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）

证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误的多项式：

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

来近似地表示函数f(x)且要写出其误f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!(x-x.)^n.

接下来就要求误的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.

谁能教会我泰勒公式？

问题1：泰勒公式一般是在大一上学期的时候讲高等数学和数学分析当中开始讲；

问题2：泰勒公式如下图所示：

f(x)表示原函数，f(x0)表示原函数在x0处的取值,f'(x0)表示原函数一阶导数在x0处的取值，依次类推,fn(x0)表示原函数n阶导数在x0处的取值。

Rn(x)表示泰勒余项，是与原函数之间的误，其表达式为：

这里的e表示x0与x之间的一个值，不懂这块也没事，也不影响啥。

问题3：以sinx的泰勒公式为例，求其在x=0处的泰勒展开式，有

我和这个设计建筑有一段“交往”。我记得在我七岁生日那年，我妈送给我一个生日礼物，是她从国外带回来的，一个3D的白宫拼图。它被包装在一个盒子里，打开盒子，里面是几个2D的拼图纸板，把那些纸板从盒子里面拿出来，按照说明书上的步骤把它拼起来，这个白宫拼图足足“拼”了我3天的时间，拼完这个后，我发现3D拼图非常有趣。有一次在买文具的时候，发现这个文具店里面有国产的3D拼图（因为说明书上是中文，可以拼的快多了），便告诉了妈妈，妈妈给我买了几个后，那个暑假我就没日没夜地拼了过去。直到上五年级的时候，我这种“拼图热”被我妈压了下去，

我和这个设计建筑有一段“交往”。我记得在我七岁生日那年，我妈送给我一个生日礼物，是她从国外带回来的，一个3D的白宫拼图。它被包装在一个盒子里，打开盒子，里面是几个2D的拼图纸板，把那些纸板从盒子里面拿出来，按照说明书上的步骤把它拼起来，这个白宫拼图足足“拼”了我3天的时间，拼完这个后，我发现3D拼图非常有趣。有一次在买文具的时候，发现这个文具店里面有国产的3D拼图（因为说明书上是中文，可以拼的快多了），便告诉了妈妈，妈妈给我买了几个后，那个暑假我就没日没夜地拼了过去。直到上五年级的时候，我这种“拼图热”被我妈压了下去，她说“现在准备升六年级了，要为升学考试做准备了”，我只好被迫和她“签订”这个对于我的兴趣爱好的“不平等条约”。然而，在六年级的时候，有一个关于3D拼图的一个比赛，我毫不犹豫地参加了，后在我意料之中得了个特等奖，这个证书现在还被我保存得好好的。

在六年级毕业以后的那个暑假，我又去尝试了更高的一个层次的拼图，5000到10000片的一个拼图。当时，我连连失手两个拼图的时候，我就开始找原因，在我爸的指导下，我悟出了“凡事都不能把它看轻，否则再简单你也会失败”。后来我从一些小建筑，转换成拼一些大建筑。现在我拼的那些东西还被我保存在我的书架上面。我发现，我对建筑设计有着特殊的灵感，我的空间思维能力超群，对建筑物非常有兴趣，喜欢上网查看一些建筑的图纸。我打算以后去国外留学，就读一些建筑设计专业非常好的大学，再回到祖国，为祖国设计一些闻名全世界的建筑。

设计有着特殊的灵感，我的空间思维能力超群，对建筑物非常有兴趣，喜欢上网查看一些建筑的图纸。我打算以后去国外留学，就读一些建筑设计专业非常好的大学，再回到祖国，为祖国设计一些闻名全世界的建筑。

书现在还被我保存得好好的。

在六年级毕业以后的那个暑假，我又去尝试了更高的一个层次的拼图，5000到10000片的一个拼图。当时，我连连失手两个拼图的时候，我就开始找原因，在我爸的指导下，我悟出了“凡事都不能把它看轻，否则再简单你也会失败”。后来我从一些小建筑，转换成拼一些大建筑。现在我拼的那些东西还被我保存在我的书架上面。我发现，我对建筑设计有着特殊的灵感，我的空间思维能力超群，对建筑物非常有兴趣，喜欢上网查看一些建筑的图纸。我打算以后去国外留学，就读一些建筑设计专业非常好的大学，再回到祖国，为祖国设计一些闻名全世界的建筑。

设计有着特殊的灵感，我的空间思维能力超群，对建筑物非常有兴趣，喜欢上网查看一些建筑的图纸。我打算以后去国外留学，就读一些建筑设计专业非常好的大学，再回到祖国，为祖国设计一些闻名全世界的建筑。

泰勒公式学导数微积分时会学到。

泰勒公式：

f(x) = f(a)/0! + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

泰勒公式即非多项式函数的多项式拟合函数。

非多项式函数即无法写成多项式的函数，多项式函数即形如以下形式的函数：

f(x) = a_0x^n + a_1x^(n-1) + a_2x^(n-2) + ... +a_(n-3)x^3 + a_(n-2)x^2 + a_(n-1)x+a_n

多项式函数至多只能求n阶导数，此时导数为a_0n!，再求导就会变成0，

而一般无法写成多项式的函数可以无限求导。

拟合函数满足展开点各阶导数与被拟合函数相等的特点，

故泰勒公式每一项的系数即为被拟合函数在展开点每一阶的导数除以阶数的阶乘。

函数的零阶导数即为函数本身在展开点的函数值。

例：

exp(x) = 1/0! + x/1! +x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! + ...

sin(x) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

cos(x) = 1/0! - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

其中exp(x)即指数函数e^x，sin(x)和cos(x)分别为正弦函数和余弦函数。

d[exp(x)] = exp(x)dx，故其在0点每一阶的导数为1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

d[sin(x)] = cos(x)dx，故其在0点每一阶的导数为0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, ...

d[cos(x)] = -sin(x)dx，故其在0点每一阶的导数为1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...

代入即得上述展开式。

以上为在0点的展开，也叫麦克劳林展开，泰勒展开可以不在0点展开。

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的n阶导数.0x表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小 用拉格朗日型余项表示则0x=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例 泰勒公式可以很容易的...

谁能教会我泰勒公式。。。 哈，就我目前学的情况来看:我在高等数学，大学物理，信号与系统，数字信号处理中都有遇到过。。。不知你说的具体领域在哪

求泰勒公式推导详解

泰勒公式：将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

扩展资料：

常用函数的泰勒公式：

泰勒展开式的应用：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。