正弦定理推导及证明过程_正弦定理怎么推

什么是正弦定理,如何证明?

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

正弦定理推导及证明过程_正弦定理怎么推

证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

例如,用BC边和经过B的直径BD,构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD＝BC （R为三角形外接圆半径）

角A＝角D

得到：2RsinA＝BC

同理：2RsinB＝AC,2RsinC＝AB

这样就得到正弦定理了

楼上的是余弦定理!

正弦定理的证明过程

证明如下：在三角形的外接圆里证明。

用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)。

角A=角D。

得到：2RsinA=BC。

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB。

这样就得到正弦定理了。

正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。

正弦定理的证明过程

正弦定理证明过程如下：

步骤1、在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到 a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

步骤2、证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

平面向量证法：

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2abCosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

正弦定理证明推导方法

正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。下面是我给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!

正弦定理证明推导方法

显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若

1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。

正弦定理∵

(特殊角正弦函数值)

正弦定理∴

2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交 ⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。

∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠C'AB是直角。

2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时

∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

∴∠C'=∠C

正弦定理∴

，有

。示意图2B

若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出

。在△DAB中，应用正弦函数定义，知

因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得

。故对任意三角形，定理得证。

实际上该定理也可以用向量方法证明。

正弦定理定义

正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。

正弦定理意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

正弦定理实际应用

1、在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

注意：

锐角三角形解三角形时，已知两角与一边，三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。

一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。若已知A、A的对边a、A与a的夹边C，则：

对于钝角三角形，

若a≤b，则无解;

若a>b，则有一解;

对于锐角三角形，

若a

若a=bsinA，则有一解;

若bsinA

若a≥b，则有一解。

钝角三角形2、三角形面积的计算。

正弦定理公式推导

正弦定理公式推导：

1、（1）a=2RsinA；

（2）b=2RsinB；

（3）c=2RsinC。

2、（1）a:b=sinA:sinB；

（2）a:c=sinA:sinC；

（3）b:c=sinB:sinC；

（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。

【注】多用于“边”、“角”间的互化。

3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：

（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；

（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；

（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；

（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。

4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式。

（1）“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。

（2）“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。

（3）“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。

（4）“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。

5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。

余弦定理推论公式

1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；

2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；

3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题，需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。

正弦定理推导

正弦定理推导如下：

正弦定理是一种三角函数定理，描述了三角形中每个角的正弦与其相对的边成比例的关系。它是高中数学中涉及到的重要内容。

1.建立三角形ABC（需满足有一条边为直线段）（概念）

2.以BC边为底，做一个高AD（概念）

3.假设角A的内角平分线与BC相交于点E（定义角平分线）

4.四边形ABED是一个内切四边形，因此BD=DE(定义和性质内切四边形)

5.考虑三角形ACD与三角形ABD的正弦(引出正弦的定义)

6.在三角形ACD中：sin(C)=AD/AC(定义正弦)

7.在三角形ABD中：sin(B)=BD/AB(定义正弦)

8.观察三角形ABC,我们可以用角A所对边与角B所对边作为临边，用角C所对边作为对边得到两个特殊角的正弦比(定义正弦比)

9.根据勾股定理，在直角三角形ABD中，可以得到：(BD)^2+(AD)^2=(AB)^2

10.因为BD=DE，所以：(DE)^2+(AD)^2=(AB)^2(代入)

11.再次观察三角形ACD，可以用勾股定理得到：(AC)^2=(AD)^2+(CD)^2

12.回到第二步：sin(C)=AD/AC和第三步：sin(B)=BD/AB，分别代入上面的两个式子中(代入)

13.注意到因为BD=DE,所以BD/AB=DE/DA,是相等的，所以变成了一个方程组。

14.经过简单的处理之后，我们可以得到正弦定理：sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c

综上所述，正弦定理是通过建立内切四边形来推导得出的，它描述了三角形中每个角的正弦与其相对的边成比例的关系，即：三角形中任意两个角的正弦比是相等的。正弦定理在解决各种三角形问题时经常被使用，特别是当我们只能测量到三角形中某些角度时。