坐标旋转变换公式 坐标转换最简单方法

证明一个将一个三角形所在的坐标系进行一次线性变换 所得三角形面积不变 坐标的变换公式如图

{double x = 1.0; // 原始X坐标

举个例子吧, 影片剪辑mc其实角度90度, 每次旋转15度mc._rotation = 90;

坐标旋转变换公式 坐标转换最简单方法

y=y'cosα-x'sinα

mc.onEnterFrame = function() {

this._rotation+=15;

updateAfterEvent();

或前几天我看数学的时候自己在草稿纸上推出来一个直角坐标系内方程图像旋转的公式！形式如下：

（x，y为旋转前方程的变量，x'，y'为旋转后方程的变量）

x=x'cosα+y'sinα

其中α为以原点为中心逆时针旋转的角度。推法就是设原方程上一点(x,y)的极坐标为(ρcosθ,ρsinθ)，则旋转后点的极标为[ρcos(θ+α),ρsin(θ+α)]，所以x'=ρcos(θ+α)，y'=ρsin(θ+α)，用两角和公式全部展开就得到了！其实蛮简单的。我已经算过了，把一个标准的等轴双曲线绕原点逆时针旋转45度后就是反比例函数。

于是我又想了一下，发现现在已经可以把坐标系内图像的所有运动和变化全部统一起来了！

我们知道，平移就是在x，y后面加上或减去平移的单位数，缩放就是在x，y前面乘以一个系数。这样我写出了把图像先以原点为中心逆时针旋转α角，再在x轴方向平移a个单位，在y轴方向平移b个单位，再以y轴为中心在x轴方向上收缩m倍，以x轴为中心在y轴方向上收缩n倍的通用方程：

x=(mx'-a)cosα+(ny'-b)sinα

y=(ny'-b)cosα-(mx'-a)sinα

很容易看出，这其实是上述旋转方程的扩展。要注意，上面那个方程组一定要是先旋转后平移再缩放，顺序不能倒，否则要令写一组方程。接下去我们可以解决许多问题：1. 如果要绕某一点旋转，那么可以先旋转再平移或者先平移再旋转（运动的合成~）2. 如果要以某一直线为中心进行缩放，可以先旋转后缩放再平移。3. m，n为负数时，就是先把图像翻转后再缩放，而m，n>1或<-1时是收缩，m，n∈(-1,0)∪(0,1)时是放大。

现在，三种基本的图形运动都已完成，也就是说，直角坐标系内的方程图像可以随意改变了！

把A,B,C三点用极坐标表示后 用余弦定理求AB,BC,AC的长度

然后同理求坐标变换后的AB,BC,AC的长度

都是相等的

形状没有变化自然面积也不变

又不懂得hi我

饿

矩阵、虚数与坐标变换

3、相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3)。

一个矩阵可以表示的坐标变换类型包括 ：旋转 、 缩放 、 平移

一个虚数也可以表示：旋转和缩放

这样矩阵和虚数具有相同的功能：都可以进行坐标的旋转的缩放。

我们来考虑矩阵

可以将矩阵M和N的列理解为新坐标系的坐标基。则

M表示对标准笛卡尔坐标系不进行任何变换。

N表示对标准笛卡尔坐标系逆时针旋转90度

aM,表示 x，y方向同时进行放大a倍

bN,表示 绕原点旋转90度然后再缩放b倍

K表示 绕原点旋转 θ度 ，其中 = b/a

再缩放 倍

所以如果只需要旋转θ度 ，可以利用三角函数，构造如下矩阵S

因为缩放倍数 = 1

扩展：

神奇的欧拉公式：

e^(θi) = cos(θ) + sin(θ) i

表示旋转θ角

考虑坐标系中的单位圆

如果虚数为i，则有

1 4a^-√2a/2+13√2b/2-22=0，再用x、y代替a、b，正好消去了xy项，故所求角度为45度。i = i

i i = -1

i (-1) = -i

(-i) i= 1

即乘以i的意义相当于,绕坐标原点 逆时针旋转90度

也就是i与如下矩阵N具有相同的意义

对于一个虚数bi ，就是沿着虚轴缩放b倍,等效于如下矩阵表示

方程2x^2+4xy+2y^2-7x+6y-22=0经过坐标轴旋转变换后消去其xy项,求坐标轴旋转的角

(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

代入原方程得：2(acosθ-bsinθ)^+4(acosθ-bsinθ)(asinθ+bcosθ)+2(asinθ+bcosθ)^-7(acosθ-bsinθ)+6(asinθ+bcosθ)-22=0

展开并化简得：2a^+2b^+2sin2θ在编程中实现I5加工中心坐标的旋转90度，您可以使用数学中的旋转变换公式来完成。下面是一个简单的示例代码，演示如何通过对X和Y坐标进行旋转计算来实现旋转90度：(a^-b^)+4abcos2θ-7acosθ+7bsinθ+6asinθ+6bcosθ-22=0

又变换后要消去xy项，即新式中不含ab项，即是cos2θ=0,得θ=π/4,代入新式中各三角函数式，得

2a^+2b^+2(a^-b^)-7√2a/2+7√2b/2+6√2a/2+6√2b/2-22=0

旋转90度的坐标顺口溜

坐标：m(x,y,z)力：NF(f)

旋转90度的坐标顺口溜

在数学学科中，我们常常会遇到坐标系和平面几何的问题。而在解决这些问题的时候，旋转90度的坐标顺口溜是非常有帮助的。下面就让我们一起来探讨一下这个顺口溜的用处和原理。

顺口溜的构成

旋转90度的坐标顺口溜是由四句话组成的。它们分别是：

x变y，y变负x

x’=-y，y’=x

行列互换，竖着看

左手定则，右手拇指

这四个句子都是指在平面坐标系中，将x轴和y轴进行旋转90度之后，原来的坐标轴分别会变成y轴和x轴的负方向。在这个过程中，向右和向上的坐标轴会被替换成向上和向左的坐标轴。

顺口溜的用处

旋转90度的坐标顺口溜在数学和工程学科中都具有非常广泛的应用。它可以帮助我们在对图形进行旋转、镜像、拉伸等作时更快地推算出新的坐标值。此外，顺口溜还可以用来计算行列式、转置矩阵等高等数学知识。

在工程领域中，顺口溜则被广泛应用于测量和制图。例如在建筑设计中，我们可以通过旋转90度的坐标顺口溜快速地推算出廊道、走廊和墙面等的长度和高度。在航空、航天和海洋学等领域中，顺口溜则被用来帮助设计和控制飞机、船舶和卫星等的方向和姿态。

顺口溜的原理设坐标轴逆时针旋转θ度，旋转后坐标为ab坐标，则由公式有：x=acosθ-bsinθ;y=asinθ+bcosθ.

旋转90度的坐标顺口溜的原理是基于笛卡尔坐标系中的正交性原理。在笛卡尔坐标系中，x轴和y轴互相垂直，且它们的交点为原点。在进行旋转、镜像、拉伸等作时，我们可以通过正交性原理来推算出新的坐标值。

此外，顺口溜的原理还与向量的线性变换有关。在向量的线性变换中，矩阵的列向量表示变换后的坐标系，而每个元素则表示对应的坐标轴的长度和方向。通过旋转、镜像、拉伸等作，我们可以将矩阵的列向量进行相应的变换，从而得到新的坐标系和新的坐标值。

结论

在数学和工程学科中，旋转90度的坐标顺口溜是一种非常重要的工具。通过掌握这个顺口溜的原理和应用，我们可以更好地处理数学和工程问题，提高我们的学习和工作效率。

因此，如果你还没有掌握旋转90度的坐标顺口溜，那么就赶快学起来吧！它会给你的学习和工作带来很大的帮助。

利用三角函数变换公式推导二维旋转矩阵

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

首先把用到的公式列出来

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

cos(a+b) = cosaco - sinasinb

其次

给定一个单位圆，角a的一边在x轴正方向上，另一边与单位圆的交点坐标为(x,y)

则x=cosa y = sina

因此 a和单位圆上的(x,y)一一对应

言归正传，当我们要对任意点(x,y)绕原点旋转角度b时,我们可以按照以下步骤:

1 先把点缩放至单位圆上，此时点的坐标为(x1,y1) 令它对应的角为a 则x1=cosa y1=sina

2 然后我们将(x1,y1)旋转角度b 的到角c=a+b，此时点的坐标为(x2,y2)，根据上面公式可知

x2 = cosaco - sinasinb

y2 = sinaco + cosasinb

3 再把点(x2,y2)进行缩放，得到最终的点

X=x2 M = Mcosaco -Msinasinb = xco - ysinb

Y=y2 M = Msinaco + Mcosasinb = yco + xsinb = xsinb + yco

4 得到矩阵

co sinb

-sinb co

矩阵中旋转变换公式是指逆时针旋转还是顺时针 有什么不同什么意思

(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

表示本人数学很垃不一定能讲的很到位。你先确定图形一条始边，再将它与原点连线，单独将连成的线绕转90°就容易确定坐标了。一般来说还是先确定坐标的正负，就看图形所在象限则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理），在根据题目要求旋转图形就可以了。

图形旋转90°坐标变换规律

Y=y

设图形旋转点为(0,0),图形中点（x,y)在旋转后坐标（x',y')，有

3、牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，只要将分母替换为一个不变量就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。x'=y

y'=-x

假设原来的坐标是（x，y）

坐标变换(2)—不同坐标系下的变换

八、质能方程：E=Mc^2。

如下图所示，在自动驾驶车辆上会存在大量冗余的传感器，例如轮速传感器、激光雷达，毫米波雷达，摄像头，雷达，GPS，IMU等。不同传感器对同一物体的测量原始结果都是在自身坐标下，所以首先我们需要对多传感器就行标定( 即获得不同坐标系之间的变换关系，多传感器的标定是个非常复杂且困难的问题，这里先不介绍 )，将所有传感器的输出统一到一个坐标系下。

本文主要介绍不同坐标系之间变换的原理，在这里我们采用一个体系，即存在一个 世界坐标系，我们定义的位置或者姿态都是参考世界坐标系或者世界坐标系定义的笛卡尔坐标系，且讨论的维度为3维。

在本文中，我们用左上标来描述具体的坐标系，例如 表明列向量 在坐标系 下定义的。

为了描述物体的姿态，我们将在物体上固定一个坐标系，并且给出此坐标系相对于参考坐标系的表达。所以位置用列向量描述，姿态可以用固定在物体上的坐标系描述。

这里我们定义参考坐标系 ，用 表示坐标系 的三个主轴的单位向量，而 为坐标系 的三个主轴的单位向量(相对于参考坐标系 )，并利用 顺序排列，组成了一个 的矩阵，称为旋转矩阵，用符号 表示，

如果俯仰角为±90°，那么公式就变成了：其中，标量 也可以利用坐标系 对应主轴在参考坐标系 中各主轴的投影来表示(利用 内积求每个坐标轴的投影值 )，

在上式最右边矩阵中省略了上标，事实上只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的 。由于上式右边矩阵中的向量均为单位向量，所以通过内积计算的结果是两者之间夹角的余弦，所以上述矩阵也称为 方向余弦矩阵 。

由上式可以看出，矩阵的行是单位向量 在 中的描述( 即 )，即，

进而，可以得到，

从而还得到旋转矩阵是一个 正交矩阵 。

在自动驾驶中，位置和姿态总是成对出现的，我们将此组合称为 坐标系 。一个坐标系可以等价的用一个位置向量和一个旋转矩阵来描述。

例如，我们用 和 来描述坐标系 ，而参考坐标系为 。其中 是坐标系 在参考坐标系 中的原点的位置向量，而 是坐标系 的姿态。

这里的坐标变换指的是 将一个坐标系中的向量在其他坐标系中进行变换(描述)，向量本身并没有变换，只不过对它的描述变换了 。

如下图3所示，

在坐标系 中，我们用向量 描述了其中一个位置，现在要将该向量变换到坐标系 中，也就是将该向量在 中进行描述，这里假设 和 的姿态相同，易得，

如下图所示，

我们用 表示坐标系 在参考坐标系 中的描述，现在已知参考系 中的位置向量 ，求其在参考坐标系 中的描述？

我们知道，一个位置向量在其参考坐标系中的三个轴的分量都是该向量在对应三个轴上的投影，而投影的大小可以利用向量的点积进行计算。因此我们可以将 的分量计算如下，

上面式中，我们首先将坐标系 在坐标系 中去描述， 前面介绍过，只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的。这里 和 都是在坐标系 下描述，所以可以利用点积直接计算出 在 轴方向的投影。将上面三式写成矩阵形式，由前面可知， 的行就是 , , 。

有个便于记忆的小技巧，前面的矩阵的下标 消去了后面矩阵的上标 。

考虑下面的情况，既有平移，又有旋转，如何求 ？

但是上述公式不是 线性 的，利用一点数学变换，可以得到一个更简单的公式，

所以可以变换成下式统一的格式，

其中，称 为 其次变换矩阵 。

关于狭义相对论中的公式推导

狭义相对论中的公式推导：

一、洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。

1、设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。

2、可令x=k(X+uT) (1)。又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。

4、Z=z (4)。将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)。

5、(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT。

6、代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。

二、速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)；V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))；V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))。

1、V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)。

2、同理可得V(y),V(z)的表达式。

三、尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ。

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ。

四、钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ。

由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T。

五、光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。光源与探测器在一条直线上运动。

1、B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b) (1)。

2、探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则△t(N)=(1+β)△t(a) (2)。

4、由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。

六、动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm。

1、dt=γdτ,此时γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c。

2、牛顿第二定律在伽利略变换下保持形势不变，即无论在哪个惯性系内牛顿第在左图中，我们有关系：二定律都成立。

4、牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γ由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))m（相对论质量）则p=Mv。

七、相对论力学基本方程：F=dP/dt。

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。

1、Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)dr=∫dpdr/dt=∫vdp=pv-∫p=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)=Mv^2+mc^2sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=Mc^2-mc^2。

2、即E=Mc^2=Ek+mc^2

九、能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2。

E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2。