费马大定理的证明思路_费马大定理的简单证明

费马大定理的证明是什么?

证明费马大定理是如下：

费马大定理的证明思路_费马大定理的简单证明

已知：a^2+b^2=c^2。

令c=b+k，k=1.2.3，则a^2+b^2=(b+k)^2。

因为，整数c必然要比a与b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3。

设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)。

则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3。

当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。

当n=2时，a=d，b=h，c=p，则d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。

当n≥3时，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。

因为，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保证d、h、p为整数，就必须保证a、b、c必须都是完全平方数。

∴a、b、c必须是整数的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中为整数。

假若d、h、p不能在公式中同时以整数的形式存在的话，则费马大定理成立。

设a=mk，则b=k(m^2-1)/2。

令m=k，则a=m^2，b=m(m^2-1)/2，令m/2=(m^2-1)，则b=(m/2)^2，c=(m/2)^2+m。

则a^2+b^2=c^2 => m^4+(m/2)^4=[(m/2)^2+m]^2=>m^2(2m^2-m-2)=0，m1=0（舍去），m2=(1±√17)/4（非整数）。

此外，当m/2=(m^2-1)时，（也可以让）b=(m^2-1)^2

则a^2+b^2=c^2 => m^4+(m^2-1)^4=[(m^2-1)^2+m]^2=> m(m^2-1)(2m^2-m-2)=0，m1=0，m2=±1，m3=(1±√17)/4。

验证：当m=±1时，b=h^(n^2)=(m^2-1)^2=0；即a^2=c^2。与题要求不符。

假若d、h、p可以以整数的形式出现，说明等式d^n+h^n=p^n成立，费马大定理不成立。否则，d^n+h^n≠p^n不等式成立，费马大定理成立。

费马大定理：

对费马方程x^n+y^n=z^n整数解关系的证明，多年来在数学界一直颇多争议。本文利用平面几何方法，全面分析了直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的存在条件，提出对多元代数式应用增元求值。本文给出的直角三角型边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”。

“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本文提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；

本文利用同方幂数增比性质，利用整数方幂数增项差公式性质，把费马方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整数解判定问题，巧妙地化为了一元定解方程问题。

费马大定理如何被证明？证明过程

马猜想〔Fermat's conjecture〕又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一。1637年，法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道：「将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。」费马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也没有得到普遍的证法。300多年以来，无数优秀学者为证明这个猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及分支。 若用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程xn y n = z n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x4 y 4 = z 4 ，(x , y) = 1和方程xp yp = zp ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1〔p是一个奇素数〕均无xyz≠0的整数解。 n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情，但证明不完全。勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形。1839年，拉梅证明了p = 7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p < 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p < 4002时费马猜想成立。 现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p < 125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则 证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使xn y n = z n ，则x > 101,800,000。

费马大定理怎么证明？

费马大定理（Fermat's Last Theorem）是指当n为正整数且大于2时，方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。该定理由法国数学家皮埃尔·德·费马在1637年提出，并在他的笔记中称这个定理是“我发现了一种精妙的证法，但是这个证法恰好超出了这个笔记的空间”。

直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）经过长达七年的努力，终于找到了一个证明方法，证明了费马大定理。怀尔斯的证明方法涉及了多个数学分支，包括代数几何、模形式和调和分析等，是数学史上一次重大的突破和成就。

怀尔斯的证明方法非常复杂，超出了本问答的范围，但是可以简单介绍一下他的证明思路。怀尔斯的证明方法主要是基于椭圆曲线的理论和调和分析，他通过构造一种特殊的椭圆曲线来证明费马大定理。这种特殊的椭圆曲线被称为“模形式”，它具有一些特殊的性质，可以与费马大定理的证明建立联系。怀尔斯利用模形式与调和分析的相关理论，最终证明了费马大定理。

总之，费马大定理的证明是一个非常复杂的数学难题，需要运用多种数学分支的知识和理论。怀尔斯的证明方法是在前人的基础上进行了巨大的创新和突破，是数学史上的一次重大成就。

费马大定理证明

1引 言

1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 当正整数指数n>2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下。

1992年，蒋春暄用p阶和4n阶复双曲函数证明FLT。

1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。

据前人研究，任何一个大于2的正整数n，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT，只需证明两个指数n=4及n=p时方程没有正整数解即可。方程 无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程

无正整数解，p=3被欧拉、高斯所证明；p=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的p相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程

没有正整数解，即证明FLT。

又据前人研究，为了证明的方便，经常把FLT分为两种情形。第一种情形，对于素指数p，不存在x、y、z，使p⊥xyz且

第二种情形，对于素指数p，不存在整数x、y、z，使p│xyz且 。因此，只需证明在两种情形下，方程皆没有正整数解，即证明FLT成立。

本文将带余数除法定理、多项式恒等定理、费马小定理相结合，使p次费马方程由难以计算的不确定状态变成可以计算的确定状态，从而证明FLT成立。经过历史资料检索，如此新颖证法，前人没有先例。

（3）论文正文

2证 明

（4）参考文献

编辑本段

3.研究论文说明

论文p次费马方程证明的说明

胡振武

费马提出：方程X+Y=Z，当正整数指数n﹥2时，没有正整数解。当然xyz=0除外。这就是费马大定理（FLT）。FLT方程是不定方程，数列无穷大，难以计算。为避免无穷大和便于计算，前人把FLT方程变形为X+Y= 1，有人称之为费马方程，此时方程解的集合的图象称为费马曲线，这已有违费马的原意。弗赖将三维高次的FLT方程变形为二维三次的椭圆方程更有违费马的原意。而怀尔斯是借助弗赖椭圆方程的推断，间接证明FLT，显然与费马原来的设想是不相同的。如果FLT是世界高峰，那么通往这个高峰的道路可能不止一条，但总有一条路较好。前人证明特定条件下的FLT方程没有正整数解；我则给出一般性普遍性的证明，并且说明n=2时有正整数解是此一般性证明中的一个特例，故可以说给出的是数学追求的满意解。包含有费马小定理和无穷递降法的那种证法可能复原重现费马的思路。论文p次费马方程证明是我的证明之一。我的证明详见拙著《费马大定理证明之研究》（中文稿，目录及论文有英文），此书在各著名国家图书馆和各著名大学图书馆里可以查阅。

在至高之处，荣耀归与神，在地上平安归与他所喜悦的人。

如何证明费马大定理呢?

费马中值定理公式：

利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f’(ξ))=0。

费马定理通俗解释

费马大定理，也即费马方程，其中的N如果等于或大于3，就将不可能有完全的整数解，也即就将进入某种创造性“三”的混沌域。只有进入了混沌域才可能产生和创造新的事物。

费马大定理，简单理解就是费马提出的一个定理，具体定理的内容就是x的N次方+y的N次方=z的N次方,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。

这个等式看起来和我们初中学过的勾股定理很像，而费马大定理就是费马在勾股定理的基础上进行的一个研究。

2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即勾股定理。

大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：

“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。

费马大定理的证法

莫德尔猜想 1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．获得1982年菲尔兹奖 伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就学于内斯涛德教授门下学习数学．1978年获得博士学位．他作过研究员、助教，现在是乌珀塔尔的教授．他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何． 1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0． 后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了．因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点． 数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的．1979年利奔波姆说：“可以有充分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事．” 对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话，‘这就太棒了’(或者‘这就太顺利了’)．有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快否定了它．但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’这个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言．绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此，对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”．它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示． 然而，时隔不久，1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，人们对它有了全新的看法．在伐尔廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜想具有同等重大意义． 这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了．所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合． 令F(x，y，z)为d次齐次多项式，其中d为f(x，y)的次数，并使F(x，y，1)=f(x，y)，那么f(x，y)的亏格g为 g≥(d-1)(d-2)/2 当f(x，y)没有奇点时取等号． 费马多项式x^n+y^n-1没有奇点，其亏格为(n-1)(n-2)/2．当n≥4时，费马多项式满足猜想的条件．因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解． 为什么猜想中除去了f(x，y)的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y)的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由． d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解． d=2时，f(x，y)可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解．我们从几何上来论证这一点．设P是f(x，y)解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线(见上图)．对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R．当Q在l上取遍无穷多个K—点时，点R的集合就是f(x，y)的K—解的无穷集合．例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解： 当F(X，Y，Z)为三次非奇异(即无奇点)曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线．我们可用几何方法做出一个解的无穷集．但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的．虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇．研究这些阿贝尔簇构成了伐尔廷斯证明的核心． 伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识．莫德尔猜想有着广泛的应用．比如，在伐尔廷斯以前，人们不知道，对于任意的非零整数a，方程y2=x5+a在Q中只有有限个

有限组互质

1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。Gerhard Frey 1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。编辑本段怀尔斯和泰勒

1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。怀尔斯怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 n=3欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 n=4费马自己证明了n=4的情形。 n=51825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 n=71839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。 对于所有小于100的素指数n库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。

谷山——志村猜想

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。 谷山——志村猜想和费马大定理之间的关系 1985年，德国数学家弗雷指出了谷山——志村猜想”和费马大定理之间的关系；他提出了一个命题 ：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n>2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。

弗雷命题

1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。

谷山——志村猜想”成立

1993年6月，英国数学家维尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理” 。

费马大定理如何证明？

证明:m,n属于非负整数， x，y，z是正整数。j 表示“奇数”，k=2^（m+1）j 表示“偶数”。

按奇数与偶数的加法形式讨论费马方程：

1）偶数+偶数： k1^n+k2^n=k3^n

2^n 2^m1n j1^n + 2^n 2^m2n j2^n = 2^n 2^m3n j3^n

2^m1n j1^n + 2^m2n j2^n = 2^m3n j3^n

等式两边同时除以 min (2^m1n，2^m2n ，2^m3n)，又分七种情况：

A)m1=m2=m3 得：j1^n + j2^n = j3^n，偶数=奇数，产生矛盾。

B)仅m1=m2 j1^n + j2^n = 2^(m3-m1)n j3^n ，

令m4=m3-m1 若m4<0 j1^n + j2^n = [ j3 /2^(-m4)]^n， [j3 /2^(-m4)]^n为小数， j1^n + j2^n 为整数，产生矛盾。 可见，m4<0时，不成立。

若m4>0， j1^n + j2^n = j3^n 2^(m4)n，n>2 若j3是j1^n与j2^n的公因数j1=j2=j3 则有j4^n+j5^n=2^(m4)n ——待证明 2^(m4)n不是j1^n与j2^n的公因数 j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n= j3^n 若j1=j2 则有2j1^n/ 2^(m4)n= j3^n 奇数/偶数=奇数，产生矛盾， j1不等于j2 奇数 /2^n ，为末尾为5的小数 若要 j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n等于整数， j1^n/ 2^(m4)n与 j2^n /2^(m4)n的小数位数要相同 j1/ 2^(m4)与 j2 /2^(m4)的小数位数也要相同 通过计算观察， j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n要等于整数只能等于奇数， 推出j3=奇数 j1^n/ 2^(m4)n+ j2^n /2^(m4)n=奇数 j1^n/2^n+ j2^n/2^n =奇数乘 2^(m4-1)n 奇数乘2^(m4-1)n不等于奇数，产生矛盾， 可见，m1

C) 再来看，仅m1=m3 j1^n + 2^（m2-m1）n j2^n = j3^n ，

令m4= m2-m1 若 m4<0 j1^n + j2^n/ 2^（-m4）n = j3^n ， j2^n/ 2^（-m4）n = j3^n-j1^n ， j2^n/ 2^（-m4）n 为小数，j3^n-j1^n 为整数，产生矛盾， 可见，m4<0时，不成立。

若m4>0 则 j3^n-j1^n = j2^n2^m4n 若j2是j1^n与j3^n的公因数 则j5^n-j4^n= 2^m4n——待证明 2^(m4)n不是j3^n与j1^n的公因数 j3^n/2^m4n-j1^n/ 2^m4n = j2^n 若j3=j1 则0= j2^n， 产生矛盾， j1不等于j3 j3^n/2^m4n-j1^n/ 2^m4n = j2^n 奇数 /2^n ，为末尾为5的小数 通过计算观察， j3^n/2^m4n-j1^n/ 2^m4n 不等于整数， 可见，m4>0时，不成立。 所以，仅m1=m3时， j1^n + j2^n = j3^n 2^(m4)n不成立。

D)仅m2=m3，同上，不成立。

E) min (m1，m2，m3)仅为m1，m2 ，m3中的一个： 得： j1^n + 2^（m2-m1）n j2^n = 2^(m3-m1)n j3^n 奇数=偶数，产生矛盾。

F) 2^（m1-m2）n j1^n + j2^n = 2^(m3-m2)n j3^n 奇数=偶数，产生矛盾。

G) 2^(m1-m3)n j1^n + 2^(m2-m3)n j2^n = j3^n 偶数=奇数，产生矛盾。 所以：按奇数与偶数的加法形式讨论费马方程，偶数+偶数，不成立。

2）奇数+奇数： j1^n + j2^n = k^n j1^n + j2^n =2^（m+1)n j3^n 因为 j1^n + j2^n = j3^n 2^(m4)n不成立， 所以：j1^n + j2^n =2^（m+1)n j3^n不成立。

3) 奇数+偶数： j1^n+k^n=j2^n j2^n-j1^n=k^n j2^n – j1^n =2^n 2^mn j3^n ，

因为： j3^n-j1^n = j2^n2^m4n不成立。 所以：j2^n – j1^n =2^n 2^mn j3^n不成立。 所以：由1）2）3）可知，n>2，“费马大定理”在正整数范围内成立。

同理：应由1）2）3）可证，n>2，“费马大定理”在整数范围内成立。