椭圆积分的级数展开 椭圆积分方程

椭圆积分怎么计算

在积分学中，椭圆积分初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为：可以表达为如下形式的任何函数f的积分---其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c是一个常数。通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R(x,y)没有y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，，第二，和第三类的椭圆积分）。

椭圆积分的级数展开 椭圆积分方程

不完全类

类

类不完全椭圆积分F定义为与此等价，用雅可比的形式，可以设 ；则

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符；| \是椭圆积分中的传统做法。

但是，还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误函数那样的）标准和的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1], Eq.(8.111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等；至少当0

注意

F（x;k）=u

其中u如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式

此公式成立是有条件的。参见《、二类椭圆积分加法公式的成立条件》

性质

类不完全椭圆积分的导数

第二类

第二类不完全椭圆积分E是

与此等价，采用另外一个记法（作变量替换

），

其它关系包括

第三类

第三类不完全椭圆积分是

或者

或者

数字n称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。

完全类编辑

类

如果幅度为pi/2或者x=1，则称椭圆积分为完全的。类完全椭圆积分K可以定位为

或者

它是类不完全椭圆积分的特例：

这个特例可以表达为幂级数

它等价于

其中n!!表示双阶乘。采用高斯的超几何函数，类完全椭圆积分可以表达为

类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以采用算术几何平均值计算。

特殊值

类完全椭圆积分的导数}-

第二类

第二类完全椭圆积分E可以定义为

或者

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

它可以用幂级数表达

也就是

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

特殊值

第二类完全椭圆积分的导数

第三类

第三轮完全椭圆积分II可以定义为

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的n，也即

第三类完全椭圆积分和类椭圆积分之间的关系

第三类完全椭圆积分的导数

特殊值

是积分区域为椭圆的二重积分吗？还是积分曲线为椭圆的曲线积分？

椭圆的周长公式是什么?

椭圆周长没有的初等公式，但有非初等的椭圆积分形式的表达及其级数展开式。早由欧拉提出，经勒让德，高斯，阿贝尔和雅可比等人发展。

对这类问题的讨论引出一门数学分支——椭圆积分与椭圆函数。以下是几个比较简单的近似公式：公式一至公式六为一般精度，满足简单计算需要；公式八为高精度，满足比较专业一些的计算需要。椭圆周长公式：L=2πb+4（a-b）。

公式由来的理论依据：

椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示，它是一个与离心率有关的无穷收敛级数，本公式已经把正圆周长纳入其中，在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆，也就是说正圆是长短轴相等的椭圆。

公式推导是要利用到曲线长度积分，同时关键的一步是，要把椭圆积分利用牛顿二项式定理展开为以sinθ为变量的级数再通过积分求解。

以上内容参考：

极限的重要性质都有哪些？

1、个重要极限的公式：

lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式：

lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）＾x的极限等于e；或当x→0时，（1+x）＾（1/x）的极限等于e。

其他公式：

1、椭圆周长(L)的计算要用到积分或无穷级数的求和，早由伯努利提出，欧拉发展，对这类问题的讨论引出一门数学分支椭圆积分L = 4a sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分，其中a为椭圆长轴,e为离心率。

2、定积分的近似计算，定积分应用相关公式，空间解析几何和向量代数，多元函数微分法及应用，微分法在几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法，重积分及其应用，柱面坐标和球面坐标，曲线积分，曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式是曲线积分与曲面积分的关系。

3、设{xn}为一源个无穷实数数列2113的。如果存在5261实数a，对于任意正4102数ε，都N>0，性若数列的极限存在，则极限值是的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。有界性：如果一个数列收敛有极限），那么这个数列一定有界。

类椭圆积分的展开是咋推的？

椭圆积分

在积分学中，椭圆积分初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数f的积分

其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R(x,y)没有y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：F (sn(z;k);k) = z其中sn是雅可比椭圆函数之一。

记法

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

模角; 椭圆模; 参数; 上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

幅度 x 其中 u，其中x = sn u而sn是雅可比椭圆函数之一 规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意u也依赖于m。其它包含u的关系有

和后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。类不完全椭圆积分 F定义为

与此等价，用雅可比的形式，可以设 ；则

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符；| \是椭圆积分中的传统做法。

但是，还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误函数那样的）标准和的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik [1], Eq.(8.111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等；至少当0

注意

其中u如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

椭圆的周长怎么算啊

用初等方法求椭圆的周长只有近似公式，求椭圆周长需要用到“椭圆积分”，所有的椭圆积分只能求出近似解。高中数学教材中出现的这个问题，是一个实践题，要求学生根据自己学过的知识，找出近似公式。越越好，没有一个的结果，“椭圆的周长=πsqrt[2（aa+bb)] ”是其中一个结果。

高数题，，求大神解答

其实这是一个椭圆积分：

把1+cos(x)^2化为2-sin(x)^2，从根号中提出一个根号2，然后就化为上图中的E(1/sqrt(2))了。当然积分上限还需要变化：根据对称性，题目中的积分是被积函数在[0,π/2]上积分的两倍。

这个积分的结果是无法通过初等表达式表达出来的，只能表示为椭圆积分的形式或者级数的形式，或者是数值解：

以上是软件的计算结果，即数值解近似为3.8202.

级数表达式参考以下链接：