两个矩阵等价的充要条件 两个矩阵等价一定相似吗

等价矩阵的条件是什么？

1、矩阵等价

两个矩阵等价的充要条件 两个矩阵等价一定相似吗

矩阵A与B等价必须具备的两个条件：

(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；

(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。

2、矩阵A与B合同

必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵；

(2) 存在n阶矩阵P: P^TAP= B。

3、矩阵A与B相似

必须同时具备两个条件：

(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵；

(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP= B。

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矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同。

判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。

矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。

对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同。

矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样。

参考资料来源：

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两矩阵等价有哪些性质

A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ,那么AB秩相等.而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP,由此可见相似的结论强于等价,具有的性质更多了.比如特征值相同,行列式相同

线性代数 两个同型矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相等。这个是对的吗？为什么？

对的。

矩阵等价的定义：若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。

充分性：经过初等变换，秩是不改变的，即R(A)=R(PAQ)=R(B)。

必要性：设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成简型矩阵，这个简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样，B矩阵经过初等变换能化成一个简型矩阵，因为B的秩是m，所以B化成的简型也是C。也就是说，A与C等价，B与C等价，所以，A与B也等价。

是的。同型矩阵等价则PAQ=B，所以r(B)=r(PAQ)=r(A),反之，由于A和B等秩，说明两者有相同的行简型E11+E22+……+Err,即存在可逆矩阵P,Q,P'和Q'，有PAQ=P'BQ'=简型，即

(P'-1P)A（QQ'-1)=B，所以A和B等价。

矩阵合同等价的充要条件是什么？

矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。 总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩

矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

合同是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。

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矩阵的分解

主条目：矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

三角分解

设,则A可以地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵

。谱分解

谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

奇异值分解

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [19] 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M确定了。

满秩分解

设，若存在矩阵

及，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解。

LUP分解

LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足

. 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解 。

参考资料：

线性代数 不同型的矩阵A与B等价的充分必要条件是:r(A)=r(B),是否正确?？

如果A,B是同型矩阵,等价的充要条件为

r(A)=r(B)

同维的向量组等价的充要条件是

r(A)=r(B)=r(AB),2,线性代数 不同型的矩阵A与B等价的充分必要条件是:r(A)=r(B),是否正确?

对矩阵不可，那对向量组A,B呢？

矩阵等价的充要条件是什么？

矩阵等价充要条件：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

向量组等价充要条件：两个向量组可以互相线性表示。向量组A：a1，a2，am与向量组B：b1，b2，bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B）。

相关如下

矩阵A和A等价(反身性）；矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；矩阵A和B等价，矩阵B和C等价，那么A和C等价（传递性）；矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。任一向量组和它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。