高中数学：三角恒等变换公式及推导方法

作者：耀生网 • 更新时间2024-04-28 07:23:04 •阅读 1

三角恒等变换公式

1.理解弧度的定义,并能正确地进行弧度和角度的换算.

高中数学：三角恒等变换公式及推导方法

2.掌握任意角的三角函数的定义,三角函数的符号,同角三角函数的关系式与诱导公式,了解周期函数和小正周期的意义,会求的周期,或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期.能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.

3.了解正弦,余弦,正切,余切函数的图象的画法,会用"五点法"画正弦,余弦函数和函数的简图,并能解决正弦,曲线有关的实际问题.

4.能推导并掌握两角和,两角,二倍角与半角的正弦,余弦,正切公式.

5.了解三角函数的积化和与和化积公式.

6.能正确地运用上述公式简化三角函数式,求某些角的三角函数值.证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题.

7.掌握余弦定理,正弦定理及其推导过程,并能运用它们解斜三角形.

考点分析

三角函数是一种重要的初等函数,由于其特殊的性质以及与其他代数,几何知识的密切联系,它既是研究其他各部分知识的重要工具,又是高考考查双基的重要内容之一.

本章分两部分,部分是三角函数部分的基础,不要求引入难度过高,计算过繁,技巧性过强的题目,重点应放在结知识理解的准确性,熟练性和灵活性上.

试题以选择题,填空题形式居多,试题难度不高,常与其他知识结合考查.

复习时应把握好以下几点:

1.理解弧度制表示角的优点在于把角的与实数集一一对应起来,二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数.

2.要区别正角,负角,零角,锐角,钝角,区间角,象限角,终边相同角的概念.

3.在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中角的范围,并对不同的象限分别求出相应的值.在应用诱导公式进行三角式的化简,求值时,应注意公式中符号的选取.

4.单位圆中的三角函数线,是三角函数的一种几何表示,用三角函数线的数值来代替三角函数值,比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多,因此,三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具.

5.要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的"标准式",进而可求得某些复合三角函数的值,小正周期,单调性等.对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性.

6.函数的单调性是在给定的区间上考虑的,只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小.

7.对于具有周期性的函数,在作图时只要先作它在一个周期中的图象,然后利用周期性就可作出整个函数的图象.

8.对于,,等表达式,要会进行熟练的变形,并利用等三角公式进行化简.

本章第二部分是两角和与的三角函数,考查的知识共7个,高考中在选择题,填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识,题目多为求值题,有直接求某个三角函数值的,也有通过三角变换求函数的变量范围,周期,小,大值和讨论其他性质;以及少量的化简,证明题.考查的题量一般为3—4个,分值在12—22分,都是容易题和中等题,重点考查内容是两角和与的正弦,余弦及正切公式,和化积,各积化和公式.

考生丢分的原因主要有以下两点:一是公式不熟,二是运算不过关,因此复习时要注意以下几点:

1.熟练掌握和,,倍,半角的三角函数公式.复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧.

①常值代换,特别是"1"的代换,如:,,,等等.

②项的分拆与角的配凑.

③降次与升次.

④代换

另外,注意理解两角和,,倍,半角公式中角的实质,可以把公式中的角看成一种整体形式,可以锦成其他变量或函数,这样可加大公式的应用范围和力度.

2.要会运用和化积与积化和公式.对三角函数和式,要善于转化为积的形式,反之亦然,对于形如的式子,要引入辅助角并化成的形式,这里辅助角所在的象限由的符号决定,角的值由确定.对这种思想,务必强化训练,加深认识.

3.归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧.

①三角函数化简时,在题设的要求下,首先应合理利用有关公式,还要尽量减少角的种数,尽量减少三角函数种数,尽量化同角,化同名等.其他思想还有:异次化同次,高次化低次,化弦或化切,化和为乘积,化乘积为和,特殊角三角函数与特殊值互化等.

②三角函数的求值问题,主要有两种类型.一关是给角求值问题;另一类是给值求角问题.它们都是通过恰当的变换,设法再与求值的三角函数式,特殊角的三角函数式,已知某值的三角函数式之间建立起联系.选用公式时应注意方向性,灵活性,以造成消项或约项的机会,简化问题.

4.关于三角函数式的简单证明.三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种,证明方法灵活多样.一般规律是从化简入手,适当变换,化繁为简,不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定.

①不附加条件的三角恒等式证明:多用综合法,分析法,在特定的条件下,也可使用数学归纳法.

②附加条件的三角恒等式证明:关键在于恰当而适时地使用所附加的条件,也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系.常用的方法是代入法和消元法.

三角恒等证明中要重点会用和与积的互化公式,掌握等价转化的思想和变量代换的方法.证明的关键是:发现异——观察等式两边角,函数,运算间的异;寻找联系——选择恰当公式,找出异间的联系;合理转化促进联系,创造性地应用基本公式.

而关于角的恒等式或条件恒等式的证明,一般来说,要证,先证明的同名三角函数值相等,即,再证明在三角函数的同一单调区间内,而后由函数的单调性得出.

5.在解有关三角形的问题中,锐角三角函数的定义,勾股定理,正弦定理,余弦定理是常用的工具.注意三角形面积公式,的妙用和三角形内角和的制约关系的作用.

6.求三角函数值的常用方法是:配方法,判别式法,重要不等式法,变量代换法,三角函数的单调性和有界性等.其基本思想是将三角函数的值转化为代数函数的值.

三角函数的概念,同角三角函数的基本关系及诱导公式

高一数学必修三角恒等变换函数公式总结

三角恒等变换是高一数学三角函数的一个重要组成部分。为了帮助高一学生学好三角函数公式，下面我给大家带来高一数学必修三角恒等变换函数公式，希望对你有帮助。

高一数学必修三角恒等变换函数公式高一数学必修三角恒等变换函数知识点

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数少、次数、角与函数的种类少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.

1.求值中主要有三类求值问题：

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.

2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.

(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是α4的二倍角等.

(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.

(4)消除异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的异.

高一数学学习方法

抓好基础是关键

数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术

做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

归纳数学大思维

数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。

积累考试经验

反三角函数定义域，值域，导数？

反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：

常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域，并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总

利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导，并详细总结了其值域、定义域等内容

本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

一、常用三角函数与反三角函数

常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示

图1.三角函数及其对应三角形

反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y 调换位置则得到反三角函数的图示：

图2.反三角函数及其对应三角形

上述反三角函数的图象如下图所示：

图3.反三角函数的图象

在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

表1. 反三角函数的定义值及值域

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二、反三角函数的导数的推导过程

反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数

反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。

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先给结论：

表2. 反三角函数的导数及其定义域

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接下来依次证明：

1、反正弦函数的导数

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2、反余弦函数的导数

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证法I：类似推导

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证法II：由，于是

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3、反正切函数的导数

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4、反余切函数的导数

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证法I：类似3，略。

证法II：类似2，由，于是

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5、反正割函数的导数

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标部分主要是要把上一步完全由表示，由于有以下恒等关系

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证法I：类似5，略。

证法II：类似2，由，于是

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小结

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本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。

反三角函数公式是什么？

一反三角函数的三角恒等式：

1).sin(arcsinx)=x (|x|≤1)

2).cos(arccosx)=x (|x|≤1)

3).tan(arctanx)=x (-∞

4).cot(arccotx)=x (-∞

二三角函数的同名反三角函数公式

1).arcsin(siny)=y y∈〔-兀/2，兀/2〕

2).arccos(cosy)=y y∈〔0，兀〕

3).arctan(tany)=y y∈(-兀/2，兀/2)

4).arccot(coty)=y y∈(0，兀)

三负值的反三角函数公式

1).arcsin(-x)=-arcsinx (|x|≤1)

2).arccos(-x)=兀-arccosx (|x|≤1)

3).arctan(-x)=-arctanx x∈(-∞，+∞)

4).arccot(-x)=兀-arccotx x∈(-∞，+∞)

四同值的反三角函数公式

1).arcsinx+arccosx=兀/2 x∈〔-1，1〕

2).arctanx+arccOtx=兀/2 x∈(-∞，+∞)

反三角函数公式：

arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

反三角函数就是三角函数的反函数，常用的有arcsinΘ，arccosΘ，arctanΘ等等。

三角恒等变换口诀解释

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和积。条件等式的证明，方程思想指路明。

公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为简求解集；

千万不要指望这个

再看看别人怎么说的。