什么是正弦定理，如何证明？

什么是正弦定理,如何证明?

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

什么是正弦定理，如何证明？

证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

例如,用BC边和经过B的直径BD,构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD＝BC （R为三角形外接圆半径）

角A＝角D

得到：2RsinA＝BC

同理：2RsinB＝AC,2RsinC＝AB

这样就得到正弦定理了

楼上的是余弦定理!

用向量法证明正弦定理急！！！

在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为

BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得

iBA+iAC=0①

根据向量内积定义，iBA=ccos(i,AB)=csinB,同理

iAC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得

csinB-bsinC=0

所以b/sinB=c/sinC

类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,

所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

用向量的方法证明三角形正弦定理

步骤1

记向量i ,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i（a+b+c）

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理,在△ABC中,

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

用向量怎么证明推导正弦定理

用向量证明正弦定理事例1

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

用向量证明正弦定理解答

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

用向量叉乘表示面积则 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=> absinC = bcsinA (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=> a/sinA = c/sinC

2015-7-18 17:16 jinren92 |

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

正弦定理定义

正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的'一个关系式。一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

1、在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理 篇1 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

向量法证明正弦定理 篇2

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

向量法证明正弦定理 篇3

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系。

定理内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的'半径为R。则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。

定理变形

a:b:c=sinA:sinB:sinC

应用领域

在解三角形中，有以下的应用领域：

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

正弦定理变形形式

a=2RSinA。b=2RsinB。c=2Rsinc

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

定理的意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦定理在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

正弦定理的证明方法

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2c^2

=[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2b^2c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证

证明方法有四种：

1、利用三角形高来证明正弦定理；

2、利用三角形面积来证明正弦定理；

3、向量法证明正弦定理；

4、外接圆证明正弦定理；

具体证明方面见下图：

你先画个图 然后做3条高

根据等积法做

还可以做外接圆 做直径

根据圆周角相等 3条边就都能用R及角度的正弦值表示

即可

"三角形面积S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB "是由正弦定理推出的

三角形面积S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

可得

画图。由顶点向对边做垂直。