高中数学：球体积、表面积公式是什么？

球体积、表面积公式是什么？

体积：

高中数学：球体积、表面积公式是什么？

将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3

。因此一个整球的体积为4/3πR^3

球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3

表面积：

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。

以x为积分变量，积分限是[－R，R]。

在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

球的体积和表面积公式

球体表面积推导过程

把圆球切成一个个小圆环而非圆周

将圆球切成无数个小圆环，圆环的宽度为Rdθ(弧微元),长度为圆的周长2πRsinθ

面积微元:

dS=2πRsinθ(Rdθ)=2π(R^2)sinθdθ

积分得:

S表=∫[0,π]2π(R^2)sinθdθ=2π(R^2)∫[0,π]sinθdθ

=-2π(R^2)cosθ|[0,π]

=4πR^2

由此得证

球体的表面积和体积的计算公式和推导过程

第一种从“下而上”不足近似值逼近（比实际值小）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：（1）r1=根号R^2-(R/n)^2,r2=根号R^2-(2R/n)^2,r3=根号R^2-(3R/n)^2-----rn=根号R^2-(nR/n)^2.(2)然后再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R/n)^2}+πR/n{R^2-(2R/n)^2}+πR/n{R^2-(3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(nR/n)^2}=πR^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πR^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πR^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πR^3{1-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3{1-(2+31/n+1/n^2)/6}=πR^3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3后再乘以2。即：整球的体积公式V=4/3πR^3。

二，第二种从“上而下”过剩近似值逼近（比实际值大）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：(一），（1）r1=根号R^2-(R-R/n)^2,（2）r2=根号R^2-(R-2R/n)^2,(3)r3=根号R^2-(R-3R/n)^2---++---（n）rn=根号R^2-(R-nR/n)^2，（二）再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R-R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-2R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(R-nR/n)^2}=πR^3/n{2/n-(1/n)^2}+πR^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πR^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πR^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πR^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n}-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2}=πR^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)/6n^2}=πR^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πR^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πR^3{（4+3/n-(1/n)^2)}/6=πR^3（4-1/n)(1+1/n)/6.（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3，最后再乘以2，得：整球的体积公式V=4/3πR^3。综上所述：事实证明二种推导结果完全一致，只是前者较为简单，后者更为复杂而已，我还是建议学生采用前者便捷！

求球的表面积和体积的计算公式和其推导过程

球的表面积=4πr^2， r为球半径 .

V球=(4/3)πr^3, r为球半径 .球体积的推导方法是二重积分而表面积就是体积的导数

球的表面积计算公式: 球的表面积=4πr^2， r为球半径 .

球的体积计算公式: V球=(4/3)πr^3, r为球半径 .过程不知道

【数学】球的表面积和体积公式是如何推导出来的？

是用积分求出的。没发明积分运算时，球的体积是用祖暅原理做出的。好象表面积是到有极限运算时才做出的，也是类似于积分的原理。

微元法

要用到极限的知识

高中数学书上有推导的

球的表面积公式和体积公式分别是什么?

球的体积公式兀R立方乘兀的平方根，球的表面积公式2分之兀R的平方乘兀的平方根。

球的体积公式兀R立方乘兀的平方根，球的表面积公式2分之兀R的平方乘兀的平方根。