计算矩阵的n次幂计算矩阵n次幂的方法

如何求矩阵的n次幂

有下面三种情况：

计算矩阵的n次幂计算矩阵n次幂的方法

1、如果你所要求的是一般矩阵的高次幂的话，是没有捷径可走的，只能够一个个去乘出来。

至于低次幂，如果能够相似对角化，即：存在简便算法的话，在二阶矩阵的情况下简便算法未必有直接乘来得快，所以直接乘。

2、如果你要求的是能够相似对角化的矩阵的高次幂的话，是存在简便算法的。

设要求矩阵A的n次幂，且A=Q^(-1)ΛQ，其中Q为可逆阵，Λ为对角阵。

即：A可以相似对角化。那么此时，有求幂公式：A^n=Q^(-1)(Λ)^nQ，而对角阵求n次方，只需要每个对角元素变为n次方即可，这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。

3、如果矩阵可以相似对角化，求相似对角化的矩阵Q的具体步骤为：

求|λE-A|=0 (其中E为单位阵)的解，得λ1和λ2（不管是否重根），这就是Λ矩阵的对角元素。

依次把λ1和λ2带入方程（如果λ是重根只需代一次，就可求得两个基础解）[λE-A][x]=[0]，求得两个解向量[x1]、[x2]，从而矩阵Q的形式就是[x1 x2]。

接下来的求逆运算是一种基础运算，这里不再赘述。

下面可以举一个例子：

二阶方阵：

1 a

0 1

求它的n次方矩阵

方阵A的k次幂定义为 k 个A连乘: A^k = AA...A (k个)

一些常用的性质有：

1. (A^m)^n = A^mn

2. A^mA^n = A^(m+n)

一般计算的方法有：

1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明

2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)

3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开

适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零矩阵: C^2 或 C^3 = 0.

4. 用对角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP

扩展资料：

幂等矩阵的主要性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N(A1)∩N(A2)；

2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2=A2·A1=A2，且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2)；N (A1- A2) =N (A1)⊕R (A2)；

3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2=A2·A1，则A1·A2为幂等矩阵，且有：R (A1·A2) =R(A1) ∩R (A2)；N (A1·A2) =N (A1) +N (A2)。

矩阵的n次方怎么算？

先算两次方，三次方，多算到4次方，就可以知道n次方，严格证明需要用数学归纳法。

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵。

对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

利用特征值与特征向量

把矩阵 A 写成 PBP^-1 的形式，其中P为可逆矩阵，B 是对角矩阵，A^n = PB^nP^-1 。

例如：

计算A^2,A^3 找规律, 用归纳法证明

若r(A)=1, 则A=αβ^专T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注：β^Tα =α^属Tβ = tr(αβ^T)

用对角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP

矩阵的n次方怎么算

矩阵的n次方怎么算，从方阵的正整数开始

方法一：先求他的特征值和特征向量，得到一个特征值组成的对角矩阵Λ和一个可逆矩阵P，再求这个可逆矩阵的逆矩阵P^(-1)，于是

A^10=P^(-1)(Λ^10)P

方法二：先试A^2，A^3等看是否有规律。

二更：对方法二的补充。

然后使用数学归纳法。假设A^(n-1)是什么形式，再将A^(n-1)A，求出A^n的形式。

>> syms a;

>> A=[a 1 0;0 a 1;0 0 a]

A =

[ a, 1, 0]

[ 0, a, 1]

[ 0, 0, a]

>> A^2

ans =

[ a^2, 2a, 1]

[ 0, a^2, 2a]

[ 0, 0, a^2]

>> A^3

ans =

[ a^3, 3a^2, 3a]

[ 0, a^3, 3a^2]

[ 0, 0, a^3]

>> A^4

ans =

[ a^4, 4a^3, 6a^2]

[ 0, a^4, 4a^3]

[ 0, 0, a^4]

>> A^5

ans =

[ a^5, 5a^4, 10a^3]

[ 0, a^5, 5a^4]

[ 0, 0, a^5]

A^n的规律就是

对角线为a^n

中间的斜行为na^(n-1)

右上角为n(n-1)/2a^(n-2)

线性代数中矩阵的n次方怎么计算?

这要看具体情况

一般有以下几种方法

1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明

2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)

3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开

适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零: C^2 或 C^3 = 0.

4. 用对角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP

这个你举个例子，一般来说都是先算矩阵的二次方，三次方，观察得出结果的矩阵中元素的规律，然后用归纳法得出n次方的结果