2013年的高考数学题_2013年的高考数学题及答案

2013年高考试题：理科数学全国卷

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2013年的高考数学题_2013年的高考数学题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

数学(理科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=(）

（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝

（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}

（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=（）

（A）-1+i（B）-1-i（C）1+i（D）1-i

（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（）

（A） （B） （C） （D）

（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l⊥m，l⊥n， ，则（）

（A）α∥β且l∥α （B）α⊥β且l⊥β

（C）α与β相交，且交线垂直于l（D）α与β相交，且交线平行于l

（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（ ）

（A）-4（B）-3

（C）-2 （D）-1

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=

（A） （B）

（C） （D）

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分

别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四

面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视

图可以为

(A) (B) (C) (D)

（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则

（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c

（9）已知a＞0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的小值为1，则a=

(A) (B) (C)1(D)2

（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是

（A） xα∈R,f(xα)=0

（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减

（D）若x0是f（x）的极值点，则

（11）设抛物线y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为

（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x

（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

（A）（0，1）(B) ( C) (D)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.

（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 ，则n=________.

（15）设θ为第二象限角，若 ，则 =_________.

（16）等数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的小值为________.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的值。

（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，

AA1=AC=CB= AB。

（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD

（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值

（19）（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，

100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将T表示为x的函数

（Ⅱ）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，

需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x ）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入 的利润T的数学期望。

(20)(本小题满分12分)

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： (a>b>0)右焦点的直线x+y- =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

(Ι)求M的方程

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的值

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD

于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，

且BCAE=DCAF，B、E、F、C四点共圆。

（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（2）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆

的面积与△ABC外接圆面积的比值。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

已知动点P，Q都在曲线C： 上，对应参数分别为β=α

与α=2π为（0＜α＜2π）M为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

2013年湖南高考数学（理）选择题第八题详解。

以A为原点建坐标，设PRQ三点坐标，共三个未知数：a,b,n.

重心在QR上，可得出b,n关系。

角RPQ90，用向量垂直法做比较快。

三角形CRQ与BPQ相似。CQ，QB之比等于CR，BP之比。

三个等式就可解出未知数了。（因为用手机打的，一些细节就省略了）

不过如果考场上碰到这种题，直接用代入法，这样节约时间。

用坐标方法求解，先求出重心坐标，然后设出QR的斜率，利用点斜式写出QR的方程，利用入射角和反射角可得出各直线的斜率与QP斜率之间的关系，求出Q,R,P各点坐标，利用QP的斜率等于QR的斜率的倒数建立关于斜率k的方程，求出k，即可求出P点的位置，我已求出来了

其实我被这个难到了好久，考试半天没做得出……还蒙错了

图片中2013年安徽高考数学第15题不懂，盼高手详细分析讲解，谢谢！

15） 1 2 3 5

1和2对应该没问题。

4）当1/2

3）当CQ=3/4时，D1M=1/3，所以D1N=2/3，这个点N就是题中所说的点R，D1R=2/3，C1R=1/3没问题。

5）当CQ=1时，上面说的点M是A1D1的中点，平面S与立方体的交点是点A，M，C1，P，是个棱行，边长√5／2，其中一条对角线就是立方体的对角线，长√3，求出另外一条对角线长√2，所以S面积为√6／2。

这个题挺烦的，需要细心分析

亲，还是去专业的高考网！这里的人技术含量你懂的！

性高考数学题：2013年数学全国卷A题21

（21）（本小题满分12分）

已知圆 圆 动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 .

（I）求 的方程;

（Ⅱ） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 两点，当圆 的半径长时，求 .

【解答第1问】

圆 的圆心为 , 半径为 ; 圆N的圆心为 , 半径为 .

记圆 的半径为 ，则

∴∴ 点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 .

∴ 曲线 的方程为 .

【解答第2问】

如果以椭圆的左焦点为极点，极坐标方程为

当 , 值，且

所以， 的值为 . 相应的点 坐标为 . 圆 半径 .

圆 与圆 的公共切线共有 条.

其中， 的方程为：

这条直线与曲线 的交点为 , 相应的弦长为

若直线方程为 , 其与椭圆的公共点满足如下方程：

消元后得：

关于 轴对称，两条直线所对应的弦长相等。只要求出其中一条即可。

如上图所示，经过切点的半径与切线垂直。记切线 的倾角为 , 则

的方程为：

代入以上公式可得：

【提炼与提高】

高考命题的原则是： 「基于教材，高于教材。」 此题可以称得上是这方面的典型范例。

为了成功解答本题，需要闯过以下关卡：

第1关：根据已知条件求 的方程。

解答的关键在于：应用几何分析，得出结论：动点 到 的距离之和为定值。这是一道课本题。假如考生认真对待教科书的习题，第1问不难得分。

第2关：当圆 的半径长时，点 在什么位置？

从直观上看，可以猜出结论：当点 在椭圆的右顶点，圆 的半径长。但从数学角度来说，还需要加以论证。用椭圆的极坐标方程来论证，是效率较高的办法。

第3关：圆 与圆 的公切线有几条？

因为这两个圆相切，所以有3条公切线。其中一条与 轴垂直，斜率不存在。部分考生可能因为漏解而丢分。

第4关：求椭圆的弦长

弦长问题是解析几何中的典型问题，典型的解法是用韦达定理。笔者提供的解法有两个特点：

1）直线方程设为 . 这种形式包含了倾角等于 的情况，不包含倾角为 的情况。

2）没有使用 的具体值，而是带着参数计算，得出公式后，再代入具体的参数值，求出弦长。

这样做的原因在于：人在考场上高度紧张，在计算 或者 值的过程中很容易出错；使用通用的形式计算，在平时多练习，完全可以做到又快又准。这一做法也算是一条考试的小技巧。

第5关：求公切线的方程

这里的关键是求出切线的倾角的正切（或者余切）。针对本题的具体情况，如果用代数方法，是比较麻烦的，但从几何角度分析，很快就得出结论。

总的说来，本题综合性较强。以有限的篇幅考查了以下几个方面的知识：

『直线与圆的关系』

『圆与圆的关系』

『求弦长的方法』

『数形结合，几何开路』

这样的题，就可以称为：性考题。

求2013年高考江苏卷理科数学试卷答案！

参

一、填空题

1． 2．5 3． 4．8 5．3 6．2 7．． 8． 9．

10． 11． 12． 13．或 14．12

二、解答题

15．解：（1）∵ ∴ 即，

又∵，∴∴∴

（2）∵ ∴即

两边分别平方再相加得： ∴ ∴ ∵

∴16．证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点

∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB

又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC

同理：FG∥平面ABC

又∵EFFG=F, EF．FG平面ABC∴平面平面

（2）∵平面平面

平面平面=BC

AF平面SAB

AF⊥SB

∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC

又∵, ABAF=A, AB．AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA

17．解：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为

∴圆的方程为：

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即

∴∴∴∴或者

∴所求圆C的切线方程为：或者即或者

（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）

则圆的方程为：

又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D

∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点

∴由得

由得

终上所述，的取值范围为：

18．解：（1）∵，

∴∴，

∴根据得

（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则

∴∵即

∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离短。

（3）由正弦定理得（m）

乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C

设乙的步行速度为V ,则

∴∴

∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内

法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，

设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，

AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，

知：AB＝52k＝1040m．

（2）设乙出发x分钟后到达点M，

此时甲到达N点，如图所示．

则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，

由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，

其中0≤x≤8，当x＝37(35)(min)时，MN小，此时乙在缆车上与甲的距离短．

（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50(1260)＝5(126)(min)．

若甲等乙3分钟，则乙到C用时：5(126)＋3＝5(141) (min)，在BC上用时：5(86) (min) ．

此时乙的速度小，且为：500÷5(86)＝43(1250)m/min．

若乙等甲3分钟，则乙到C用时：5(126)－3＝5(111) (min)，在BC上用时：5(56) (min) ．

此时乙的速度，且为：500÷5(56)＝14(625)m/min．

故乙步行的速度应控制在[43(1250)，14(625)]范围内．

19．证明：∵是首项为，公为的等数列，是其前项和

∴（1）∵ ∴

∵成等比数列 ∴ ∴

∴ ∴ ∵ ∴ ∴

∴∴左边= 右边=

∴左边=右边∴原式成立

（2）∵是等数列∴设公为，∴带入得：

∴对恒成立

∴由①式得： ∵ ∴

由③式得：

法二：证：（1）若，则，，．

当成等比数列，，

即：，得：，又，故．

由此：，，．

故：（）．

（2），

． (※)

若是等数列，则型．

观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，

故有：，即，而≠0，

故．

经检验，当时是等数列．

20.解：（1）由即对恒成立，∴

而由知＜1 ∴

由令则

当＜时＜0，当＞时＞0，

∵在上有小值

∴＞1 ∴＞

综上所述：的取值范围为

（2）证明：∵在上是单调增函数

∴即对恒成立，

∴而当时，＞ ∴

分三种情况：

（Ⅰ）当时， ＞0 ∴f（x）在上为单调增函数

∵ ∴f（x）存在零点

（Ⅱ）当＜0时，＞0 ∴f（x）在上为单调增函数

∵＜0且＞0

∴f（x）存在零点

（Ⅲ）当0＜时，，令得

∵当0＜＜时，＞0；＞时，＜0

∴为值点，值为

①当时，，，有零点

②当＞0时，0＜，有两个零点

实际上，对于0＜，由于＜0，＞0

且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点

另外，当，＞0，故在上单调增，∴在只有一个零点

下面考虑在的情况，先证＜0

为此我们要证明：当＞时，＞，设 ，则，再设

∴当＞1时，＞-2＞0，在上是单调增函数

故当＞2时，＞＞0

从而在上是单调增函数，进而当＞时，＞＞0

即当＞时，＞，

当0＜＜时，即＞e时，＜0

又＞0 且函数在上的图像不间断，

∴函数在上有存在零点，又当＞时，＜0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点

综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当时，的零点个数为1；当0＜＜时，的零点个数为2

21．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C

∴,又∵

∴～

∴ 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD

21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为,则=，即=，

故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为,

∴==

21．C解：∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①

同理得曲线C的普通方程为 ②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为，

21．D证明：∵

又∵＞0，∴＞0，,

∴∴

∴22．本题主要考察异面直线．二面角．空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。

解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，

则，,,,

∴,

∴∴异面直线与所成角的余弦值为

（2） 是平面的的一个法向量

设平面的法向量为，∵,

由∴ 取，得，∴平面的法向量为

设平面与所成二面角为

∴， 得

∴平面与所成二面角的正弦值为

23．本题主要考察．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。

（1）解：由数列的定义得：，，，，，，，，，，

∴，，，，，，，，，，

∴，，，，

∴中元素的个数为5

（2）证明：用数学归纳法先证

事实上，[来源:Z_xx_k.Com]

① 当时， 故原式成立

② 假设当时，等式成立，即 故原式成立

则：，时，

综合①②得： 于是

由上可知：是的倍数

而，所以是

的倍数

又不是的倍数，

而所以不是的倍数

故当时，中元素的个数为

于是当时，中元素的个数为

又故中元素的个数为