证明三角形余弦定理_如何证明三角形余弦定理

证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。

那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a

则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，

那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，

又因为AC·AB=|AC||AB|cosA，

a^2=b^2+c^2-2bccosA。

同理可用向量证明得到，

b^2=a^2+c^2-2bccosB，

c^2=b^2+a^2-2bccosC。

上述即用向量证明了三角形的余弦定理。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源：

余弦定理证明

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

余弦定

理证明

平面向量证法：

∵如图，有a+b=c

(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

（以上粗体字符表示向量）

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2abCosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2

b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2accosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2accosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求的内角.

解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.

由三角形中大边对大角可知：∠A为的角.由余弦定理

cos

A==-

所以∠A=120°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos

A=4+9-2×2×3×=7，

所以BC=7.

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。