因式分解难题存在几百年了_因式分解难题解析

因式分解的定律

定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积.

因式分解难题存在几百年了_因式分解难题解析

根据定义,一次多项式总是不可约多项式.

一个多项式是否可约是依赖于系数域的.

显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 .

定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 .

推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个.

二、因式分解定理

因式分解及性定理 数域 上次数 的多项式 都可以地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓性是说,如果有两个分解式

,那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有

.其中 是一些非零常数.

应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.

在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为

如何分解因式？

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

注意三原则

1 分解要

2 后结果只有小括号

3 后结果中多项式首项系数为正

归纳方法：

1、提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数的；取相同的多项式，多项式的次数取的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的小公倍数，分子为各分数分子的公约数（公因数）

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)

注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

2、公式法。

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2

反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2

3、分组分解法。

4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

5、组合分解法。

6、十字相乘法。

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)，所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解，上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3)(x+4)

又如：分解因式:a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)

十字相乘法讲解：

x^2-3x+2

如下：

x -1

╳

x -2

左边x乘x= x^2

右边-1乘-2=2

中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x

上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】

就等于（x-1）（x-2）

x^2-3x+2=（x-1）（x-2）

7、双十字相乘法。

8、配方法。

9、拆项法。

10、换元法。

11、长除法。

12、加减项法。

13、求根法。

14、图象法。

15、主元法。

16、待定系数法。

17、特殊值法。

18、因式定理法。

初中数学因式分解教案

因式分解是初中 八年级 数学中一个重要的知识点，老师在教学之前怎么准备教案呢？下面我为你整理了初中数学因式分解的教案设计，希望对你有帮助。

初中数学因式分解教案设计

一、案例背景

现代 教育 理论认为，教师为主导，学生为主体，教师应当充分调动学生的学习积极性，使之主动地探索、研究，让学生都参与到课堂活动中，通过学生自我感受，培养学生观察、分析、归纳的能力，逐步提高自学能力，独立思考的能力，发现问题和解决问题的能力，逐渐养成良好的个性品质。

因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。

二、案例分析

教学过程设计

(一)『情境引入』

情境一：如何计算375×2.8+375×4.9+375×2.3 ?你是怎么想的?

问题：为什么375×2.8+375×4.9+375×2.3可以写成375×(2.4+4.9+2.3)?依据是什么?

【评析】：(1)、复习旧知，加深记忆，同时为下面的学习作铺垫。

(2)、学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算 方法 ，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。还为新课内容的学习创设了良好的情绪和氛围。

情境二：分析比较

把单项式乘多项式的乘法法则

a(b+c+d)=ab+ac+ad ①

反过来，就得到

ab+ac+ad =a(b+c+d)②

思考(1)你是怎样认识①式和②式之间的关系的?

(2)②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗?你能说出这个因式吗?

【评析】：(1)、探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。

(2)、本题注重培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。

(二)『探究因式分解』

1、认识公因式

(1)、【概念1】：多项式ab+ac+ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。

(2)、议一议

下列多项式的各项是否有公因式?如果有，试找出公因式.

①多项式a2b+ab2的公因式是ab，…… 公因式是字母;

②多项式3x2-3y的公因式是3，…… 公因式是数字系数;

③多项式3x2-6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。

分析并猜想

确定一个多项式的公因式时，要从 和 两方面，分别进行考虑。

①如何确定公因式的数字系数?

②如何确定公因式的字母?字母的指数怎么定?

练一练：写出下列多项式各项的公因式

(1)8x-16 (2)2a2b-ab2

(3)4x2-2x (4)6m2n-4m3n3-2mn

【评析】：(1)、教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和 经验 ，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。

(2)、对公因式的理解是因式分解的基础，所以在解决这个问题时要注意配以练习，特别是多次方及系数的公因式，要让学生注意。

(3)、找公因式的一般步骤可归纳为：一看系数二看字母三看指数。

2、认识因式分解

【概念2】：把一个多项式化成几个整式积的形式的叫做把这个多项式因式分解。

(课本)P71练一练第1题

(1)、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是?

①. ab+ac+d=a(b+c)+d

②. a2-1=(a+1)(a-1)

③.(a+1)(a-1)= a2-1

(2)、你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系?从中你得到什么启发?

【评析】：(1)、本题主要是为了加深学生对因式分解概念的理解，使学生清楚因式分解的结果应是整式乘积的形式。

(2)、教师安排本题意图就是学生进行分析讨论，鼓励学生勤于思考，各抒己见，培养学生的 逻辑思维 能力和表达、交流能力。让学生在主动学习中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的过程，以及理解利用它们之间的关系进行因式分解的这种思想，从而降低了本节课的难点。

(三)『例题研究』

例1：把下列各式分解因式

(1)6a3b-9a2b2c (2)-2m3+8m2-12m

解：(1)6a3b-9a2b2c

=3a2b·2a-3a2b·3bc(找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式)

=3a2b(2a-3bc)(提取公因式)

(2)-2m3+8m2-12m

=-(2m·m2-2m·4m+2m·6)(首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内，注意放入括号中各项符号的变化。)

=-2m(m2-4m+6)(提取公因式)

【评析】：(1)、因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解例。

(2)、教师在讲解例题时，应鼓励学生自己动手找公因式，让学生通过动手动脑、实际操作，教师可在下面收集错误，再加以点评，加深对因式分解方法的理解。

(3)、教学中教师不能简单地要求学生记忆运算法则，更要重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养学生有条理地思考和语言表达能力。

本题的易错点：

(1)、漏项：提公因式后括号中的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

(2)、符号：由于添括号法则在上学期没有涉及，所以有必要在此处强调，添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号;括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。

(四)『巩固练习』

练一练：辨别下列因式分解的正误

(1)8a3b2-12ab4+4ab=4ab(2a2b-3b3)

(2)4x2-12x3=2x2(2-6x)

(3)a3-a2=a2(a-1)= a3-a2

解(1)错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项。

(2)错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式。

(3)错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法。

【评析】：(1)、这些多是学生易错的，本题设置的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。

(2)、当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。

(3)、进行多项式分解因式时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。

(4)、教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到真正强化，也分散了本节课的难点。

(五)『想一想』：

如何把多项式3a(x+y)-2b(x+y)分解因式?

解：3a(x+y)-2b(x+y)= (x+y)(3a-2b)

评析：公因式(x+y)是多项式，属较高要求，当多项式中有相同的整体(多项式)时，不要把它拆开，提取公因式时把它整体提出来，有时还需要做适当变形，如：(2-a)=-(a-2)，教学时可初步渗透换元思想，将换元思想引入因式分解，可使问题化繁为简。

【概念3】把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

初中数学因式分解教学 反思

1、本节课根据学生的知识结构，采用的教学流程是：提出问题—实际操作—归纳方法—课堂练习—课堂小结—布置作业六部分，这程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生进一步发展观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力，发展有条理思考及语言表达能力;

2、分解因式是一种变形，变形的结果应是整式的积的形式，分解因式与整式的乘法是互逆关系，即把分解因式看作是一个变形的过程，那么整式乘法又是分解因式的逆过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联系，另一方面又说明了二者之间的根本区别。探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程;

3、在提公因式方面，学生对公因式的认识不足，对提公因式的要求不清楚，造成了学生在做分解因式时出现了以下错误：(1)公因式找错;(2)公因式找不完整(如：漏掉公因式的系数(或系数不是取各项系数的公约数)、公因式中含有多项式时，漏掉系数或字母因数)，导致因式分解不;

4、由于在七年级上册教材中没有涉及添括号法则，所以学生在分解第一项系数是负数的多项式时，出现了很多符号错误;

因式分解是一个重点，也是一个难点，以上存在问题在以后的教学中有待进一步加强。