哥廷根学派的先驱之一：约翰·高斯

如何计算二重积分

计算二重积分的基本思路是将其化作累次积分（也即两次定积分），要把二重积分化为累次积分，有两个主要的方式：一是直接使用直角坐标，二是使用极坐标。

哥廷根学派的先驱之一：约翰·高斯

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

扩展知识

二重积分的提出者——约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，是哥廷根学派的先驱之一。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的成就遍布于数学的各个领域，在内蕴几何、数论、双曲几何、微分几何、超几何级数、复分析以及椭圆分析等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯幼时家境，但聪明异常，1792年，在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入了卡罗琳学院学习。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反法则”（Law of Quadratic Reciprocity）、“素数分布定理”（prime numer theorem）、及“算术几何平均”（arithmetic-geometric mean）。

怎么计算二重积分？

计算二重积分步骤顺序：

1.直角投影法：分别在x轴和y轴上投影，

做法一：先确定x的取值范围，然后从x的坐标区域做一条垂线交于曲线，分别得到y1(x)和y2(x)；这种积分先对x积分，再对y积分

做法二：先确定y的取值范围，然后从y的坐标区域做一条垂线交于曲线，分别得到x1(y)和x2(y)，这种积分先对y积分，再对x积分

2.极坐标法：当积分区域或被积函数含有x∧2+y∧2时，使用极坐标法

首先确定θ和r的取值范围，r的取值范围可以用x=rcosθ,y=rsinθ代入积分区域的函数得到，或者直接从积分区域观察出来；

将x=rcosθ,y=rsin代入被积函数，dxdy=rdrdθ，积分式中前面写对θ的积分，后面写对r的积分。

如何计算二重积分？

该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为 1 的二重积分的值等于积分区域的面积，即

其中，D 为积分区域S 的面积。

张图中，二重积分的计算：

第二张图中，二重积分的计算与上面形式相同。

积分的线性性质

性质1、（积分可加性） 函数和（）的二重积分等于各函数二重积分的和（）。

性质2、（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数）。

性质3、设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的值和小值，σ为区域D的面积。

二重积分运算？

二重积分的计算方法

double(int(int('y(x+y)/4',1,y),1,10)) 里边重是积y:ans=(y(3y+1)(y-1))/8 第二重是积x:ans=27135/32 一个double是将符号变成数值:ans=847.9688

计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽可能的转化为累次积分。为此，必须注意：选取适合坐标，是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方法有：利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或...

二重积分的计算步骤

二重积分的计算步骤如下：

首先要作出积分的区域，再看先对哪个做出积分，如果先对x积分，则作一条平行于x轴的直线穿过积分区域，与积分区域的交点就是积分上下限，同理，如果是先对y积分，就作一条平行于y轴的，直线穿过积分上下限。

交换积分次序的时候，根据积分区域的不同，可能会涉及到把两个积分合成一个积分，也可能会把一个积分分成两个积分，所以具体依积分区域而定。

由已知的累次积分写出积分的区域D，然后再画出D的示意图，再由D的示意图画出写出D的另一类的表达式，从而就可以写出表达式。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

二重积分怎么算？

该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为 1 的二重积分的值等于积分区域的面积，即

其中，D 为积分区域S 的面积。

张图中，二重积分的计算：

第二张图中，二重积分的计算与上面形式相同。

扩展资料：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D 底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分:

其表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积，即

可以得到结论：在二重积分的计算中，运用二重积分的几何意义可以快速准确地算出积分数值。

参考资料：

1、

2、

二重积分的计算

二重积分的计算方法

由于积分变量是dydz，故积分中的参数x可当做常数，而把x看成常数后，积分区域就可以理解为yoz平面上的圆，其半径的平方=3(1-x^2/4)，根据二重积分的几何意义，当被积函数f(x,y)=1时，∫∫f(x,y)dxdy=∫∫dxdy就等于积分区域的面积，因此本题中的∫∫dydz也就等于圆形（积分区域）的面积=πr^2=3π(1-x^2/4)。