sin定理公式推导 sin(α-β)公式推导

正弦定理怎么推导的？

在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：

sin定理公式推导 sin(α-β)公式推导

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得弦长

圆(x-4)^2+y^2=16与直线y=(根号3)x的一个交点恰为原点O(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中∠AOB=60°，∠OAB=90°，OB=2R，所以

OA=2Rcos∠AOB=2Rcos60°=R

又圆的半径为4，所以圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得的弦长为4。

正弦公式及推导公式

正弦公式：a/sina=b/sinb=c/sinc=2R，推导公式为：做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。即sinA=h/b。

正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。几何意义上，正弦公式即为正弦定理。

正弦定理公式是什么推导？

正弦定理推导公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D。

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。

公式就是用数学符号表示各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。 在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

三倍角公式：

(a)sin3a=3sina -4sina^3。

(b)cos3a=4cosa^3 -3cosa1、积化和公式：

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]。

cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]。

sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]。

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]。

三角函数正弦定理

三角函数正弦定理公式是a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D。

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。

三角函数是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。

更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

发展简史：

历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征，主要可以分为两种。

第一种方法可以称为 “同径法 ”，早为13世纪数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。

“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线（16世纪以前，三角函数被视为线段而非比值），利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆。

雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆。17~18世纪，数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径法”。

18世纪初，“同径法”又演化为“直角三角形法”，这种方法不需要选择并作出圆的半径，只需要作出三角形的高线，利用直角三角形的边角关系，即可得出正弦定理。

19世纪，英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1，相当于用比值来表示三角函数，得到今天普遍采用的 “作高法”。

第二种方法为“外接圆法”，早为16世纪法国数学家韦达所采用。韦达没有讨论钝角三角形的情形，后世数学家对此作了补充。

正弦定理推导

正弦定理推导如下：

正弦定理是一种三角函数定理，描述了三角形中每个角的正弦与其相对的边成比例的关系。它是高中数学中涉及到的重要内容。

1.建立三角形ABC（需满足有一条边为直线段）（概念）

2.以BC边为底，做一个高AD（概念）

3.假设角A的内角平分线与BC相交于点E（定义角平分线）

4.四边形ABED是一个内切四边形，因此BD=DE(定义和性质内切四边形)

5.考虑三角形ACD与三角形ABD的正弦(引出正弦的定义)

6.在三角形ACD中：sin(C)=AD/AC(定义正弦)

7.在三角形ABD中：sin(B)=BD/AB(定义正弦)

8.观察三角形ABC,我们可以用角A所对边与角B所对边作为临边，用角C所对边作为对边得到两个特殊角的正弦比(定义正弦比)

9.根据勾股定理，在直角三角形ABD中，可以得到：(BD)^2+(AD)^2=(AB)^2

10.因为BD=DE，所以：(DE)^2+(AD)^2=(AB)^2(代入)

11.再次观察三角形ACD，可以用勾股定理得到：(AC)^2=(AD)^2+(CD)^2

12.回到第二步：sin(C)=AD/AC和第三步：sin(B)=BD/AB，分别代入上面的两个式子中(代入)

13.注意到因为BD=DE,所以BD/AB=DE/DA,是相等的，所以变成了一个方程组。

14.经过简单的处理之后，我们可以得到正弦定理：sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c

综上所述，正弦定理是通过建立内切四边形来推导得出的，它描述了三角形中每个角的正弦与其相对的边成比例的关系，即：三角形中任意两个角的正弦比是相等的。正弦定理在解决各种三角形问题时经常被使用，特别是当我们只能测量到三角形中某些角度时。

正弦定理如何推导的？

由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

得 （sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0

转化 1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0

即 (cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0

又 cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

得 (cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0

(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

扩展资料：

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）

tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π k∈Z）

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示；当要求一串函数式值的时候,就可以用公式,推导成只含有一个变量的函数,值就很好求了。

正弦定理公式

正弦定理公式是：a/sina=b/sinb=c/sinc=2R。

正弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值。 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

通常用符号sin表示。正弦sinθ也可以理解为顶角度数为θ的单位等腰三角形与单位等腰直角三角形的面积之比。

sin30°=1╱2

sin45°=√2╱2

sin60°=√3╱2

sin90°=1

sin180°=0

sin0°=0

sin270°=-1

诱导公式

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

正弦定理推导过程

步骤1：在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。

CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。

CH=b·sinA

因为a·sinB=b·sinA

得到：a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2：证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。

作直径BD交⊙O于D。

连接DA。

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等，所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。

正弦定理的几个变形

变形公式：△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，使用正弦定理进行变形，有：

1、a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（齐次式化简）

2、asinB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csinA

3、a：b：b=sinA：sinB：sinC